Matemática I

55 comentarios

1. Karen Villafane 15 may 2007 - 01:44 AM

   LA GEOMETRIA.

   Es una rama de la matemática que estudia idealizaciones del espacio: puntos, rectas, planos, polígonos, poliedros, curvas, superficies, etc.

   Se utiliza para solucionar problemas concretos y es la justificación teórica de muchos instrumentos: compás, teodolito, pantógrafo.

   Una parte importante de la geometría clásica es el estudio de las construcciones con regla y compás.

   También da fundamento teórico a inventos como el sistema de posicionamiento global (en especial cuando se la considera en combinación con el Análisis Matemático y sobre todo con las Ecuaciones diferenciales).

   Es útil en la preparación de diseños (justificación teórica de la Geometría Descriptiva y del Dibujo Técnico), e incluso en la fabricación de artesanías.

   HISTORIA DE LAGEOMETRIA

   La geometría clásica se encargaba de buscar construcciones con regla y compás. Posteriormente, dado que toda construcción es repetición de cinco operaciones básicas sobre unos elementos (rectas y puntos), comenzaron a tratarse como operaciones con símbolos algebraicos, y la barrera entre álgebra y geometría se difuminó hasta llegar al Programa de Erlangen [1], que define la geometría como el estudio los invariantes de un conjunto (como puede ser por ejemplo, pero no necesariamente, el espacio) mediante transformaciones. Esto quiere decir que cada grupo determina sobre un conjunto una serie de propiedades invariantes, y al estudio de cada familia de propiedades invariantes determinadas por cada grupo de transformaciones en cada conjunto es a lo que se dedica la Geometría.

   Actualmente resulta difícil, a veces, establecer una distinción precisa entre la Geometría y el Análisis. En cualquier caso son fundamentales en ella las aportaciones del Álgebra y la Topología.

   Como gran representante tómese a la Topología geométrica, una ciencia donde sus objetos, métodos y propiedades utilizan y desarrollan construcciones muy importantes: como el Polinomio de Jones —sofisticada construcción relacionada a los nudos en 3-variedades— que muestra muchas misteriosas conexiones de esta (topología de dimensiones bajas) con la física moderna. Otro buen ejemplo es la teoría de Blow Ups de la Geometría algebraica.

2. eduard Martin 16 may 2007 - 04:45 PM

   La trigonometría :
   (del griego, la medición de los triángulos) es una rama de las matemáticas que estudia los ángulos y los lados de un Triángulo cualquiera y las relaciones entre ellos.

   Posee muchas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.

   Unidades angulares
   En la medida de ángulos, y por tanto en trigonometría, se emplean tres unidades, si bien la más utilizada en la vida cotidiana es el Grado sexagesimal, en matemáticas es el Radián la más utilizada, y se define como la unidad natural para medir ángulos, el Grado centesimal se desarrolló como la unidad más próximo al sistema decimal, pero su uso prácticamente es inexistente.

   Radián: unidad angular natural en trigonometría, será la que aquí utilicemos, en una circunferencia completa hay 2π radianes.
   Grado sexagesimal: unidad angular que divide una circunferencia en 360º.
   Grado centesimal: unidad angular que divide la circunferencia en 400 grados centesimales.

   Funciones trigonométricas
   El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C; lo usaremos para definir las funciones seno, coseno y tangente, del ángulo , correspondiente al vértice A, situado en el centro de la circunferencia.

   El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sine" en inglés) es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa,

   El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa,

   La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto y el adyacente,

   Es el cociente del seno entre el coseno.

   Otras razones trigonométricas
   Se definen la cosecante, la secante y la cotangente, como las razones inversas al seno, coseno y tangente, del siguiente modo:

   cosecante: (abreviado como csc o cosec) es la inversa de seno:

   secante: (abreviado como sec) es la inversa de coseno:

   cotangente: (abreviado como cot o cta) es la inversa de la tangente:

   Normalmente se emplean las funciones trigonométricas: seno, coseno y tangente, y salvo que haya un interés especifico en hablar de ellos o las expresiones matemáticas se simplifiquen muchísimo, los términos cosecante, secante y cotangente no suelen utilizarse.

   Funciones trigonométricas inversas
   En trigonometría, cuando el ángulo se expresa en radianes (dado que un radián es el arco de circunferencia de longitud igual al radio), suele denominarse arco a cualquier cantidad expresada en radianes; por eso las funciones inversas se denominan con el prefijo arco, así si:

   y es igual al seno de x, la función inversa:

   x es el arco cuyo seno vale y, o también x es el arcoseno de y.

   si:

   y es igual al coseno de x, la función inversa:

   x es el arco cuyo coseno vale y, que se dice: x es el arcocoseno de y.

   si:

   y es igual al tangente de x, la función inversa:

   x es el arco cuyo tangente vale y, ó x es igual al arcotangente de y.

   Valor de las funciones trigonométricas
   A continuación algunos valores de las funciones que es conveniente recordar:

   Radián Ángulo sen cos tan csc sec ctg

   Sentido de las funciones trigonométricas
   Dados los ejes de coordenadas cartesianas xy, de centro O, y un círculo con centro en O y radio 1; el punto de corte de la circunferencia con el lado positivo de las x, lo señalamos como punto B.

   La recta r, que pasa por O y forma un ángulo a sobre el eje de las x, corta a la circunferencia en el punto C, la vertical que pasa por C, corta al eje x en A, la vertical que pasa por B corta a la recta r en el punto D.

   Por semejanza de triángulos:

   La distancia , es el radio de la circunferencia, en este caso al ser una circunferencia de radio = 1, y dadas las definiciones de las funciones trigonométricas:

   tenemos:

   La tangente es la relación del seno entre el coseno, según la definición ya expuesta.

   Primer cuadrante
   Partiendo de esta representación geométrica de las funciones trigonométricas, podemos ver las variaciones de las funciones a medida que aumenta el ángulo a.

   Para a = 0, tenemos que A, C, y D coinciden en B, por tanto:

   Si aumentamos progresivamente el valor de a, las distancias AC y BD aumentaran progresivamente, mientras que OA disminuirá, percatarse que OA y AC están limitados por la circunferencia y por tanto su máximo valor absoluto será 1, pero BD no está limitado, dado que D es el punto de corte de la recta r que pasa por O, y la vertical que pasa por B, en el momento en el que el ángulo a sea 0,5 π rad, la recta r será la vertical que pasa por O. Dos rectas verticales no se cortan, o lo que es lo mismo la distancia BD será infinita, la tangente toma valor infinito cuando a= 0,5 π rad, el seno vale 1 y el coseno 0.

   Segundo cuadrante
   Cuando el ángulo a supera el ángulo recto, el valor del seno empieza a disminuir según el segmento AC, el coseno aumenta según el segmento OA, pero en el sentido negativo de las x, el valor del coseno toma sentido negativo, si bien su valor absoluto aumenta cuando el ángulo sigue creciendo.

   La tangente para un ángulo a inferior a 0,5 π rad se hace infinita en el sentido positivo de las y, para el ángulo recto la recta vertical r que pasa por O y la vertical que pasa por B no se cortan, por lo tanto la tangente no toma ningún valor real, cuando el ángulo supera los 0,5 π rad y pasa al segundo cuadrante la prolongación de r corta a la vertical que pasa por B en un punto B real, en el lado negativo de las y, la tangente por tanto toma valor negativo, y su valor absoluto disminuye a medida que el ángulo a aumenta progresivamente hasta los π rad.

   Resumiendo: en el segundo cuadrante el seno de a, disminuye progresivamente su valor desde 1, que toma para a= 0,5 π rad, hasta que valga 0, para a= π rad, el coseno, toma valor negativo y su valor varia desde 0 para a= 0,5 π rad, hasta –1, para a= π rad.

   La tangente conserva la relación:

   incluyendo el signo de estos valores.

   Tercer cuadrante
   En el tercer cuadrante, comprendido entre los valores del ángulo a de π rad a 1,5 π rad, se produce un cambio de los valores del seno el coseno y la tangente, desde los que toman para π rad:

   Cuando el ángulo a aumenta progresivamente, el seno aumenta en valor absoluto en el sentido negativo de las y, el coseno disminuye en valor absoluto en el lado negativo de las x, y la tangente aumenta del mismo modo que lo hacia en el primer cuadrante.

   A medida que el ángulo crece el punto A se acera a O, y el segmento OA, el coseno se hace más pequeño en el lado negativo de las x, el punto C, intersección de la circunferencia y la vertical que pasa por A, se aleja del eje de las x, en el sentido negativo de las y, el seno, y el punto D, intersección de la prolongación de la recta r y la vertical que pasa por B, se aleja del eje las x en el sentido positivo de las y, la tangente.

   Cuando el ángulo a alcance 1,5 π rad, el punto A coincide con O y el coseno valdrá cero, el segmento OC será igual al radio de la circunferencia, en el lado negativo de las y, y el seno valdrá –1, la recta r del ángulo y la vertical que pasa por B serán paralelas y la tangente tomara valor infinito por el lado positivo de las y.

   El seno el coseno y la tangente siguen conservando la misma relación, tanto en valores como en signo, notese que cuando el coseno vale cero, la tangente se hace infinito.

   Cuarto cuadrante
   En el cuarto cuadrante, que comprende los valores del ángulo a entre 1,5 π rad y 2 π rad, las variables trigonométricas varían desde los valores que toman para 1,5 π rad:

   hasta los que toman para 2 π rad pasando al primer cuadrante, completando una rotación:

   como puede verse a medida que el ángulo a, también aumenta el coseno en el lado positivo de las x, el seno disminuye en el lado negativo de las y, y la tangente también disminuye en el lado negativo de las y.

   Cuando a, vale 2 π o 0 π al completar una rotación completa los puntos A, B y C,

3. Manuel Sanchez 16 may 2007 - 05:29 PM

   Álgebra

   El término álgebra viene del título de la obra del mátematico árabe Mahommed ibn Musa al-Kharizmi, que significa Mahommed, hijo de Musa, natural de Kharizm, al-jebr w'al-muqabalah, que significa reducción, transposición y eliminación. El álgebra es una rama de las Matemáticas que estudia la forma de resolver las ecuaciones.
   Una de las características del álgebra es que utiliza símbolos para representar números.
   El álgebra actual trata con entidades mas generales que los números y sobre estas entidades define operaciones (similares a las operaciones aritméticas). Esta nueva álgebra se debe a Galois. hoy en día es común dividir todo el álgebra en:
   Álgebra elemental que se restringe al uso de símbolos abstractos para cantidades numéricas y a la resolución de problemas matemáticos elementales eminentemente prácticos por medio de signos.
   Álgebra abstracta que es el estudio en sí mismas de las estructuras algebraicas y sus propiedades. Dentro de esta se distingue: Álgebra lineal y Álgebra Universal.
   El álgebra lineal es la rama de la matemática que concierne al estudio de vectores, espacios vectoriales, transformaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales. Los espacios vectoriales son un tema central en la matemática moderna; por lo que el álgebra lineal es usada ampliamente en álgebra abstracta y análisis funcional. El álgebra lineal tiene una representación concreta en la geometría analítica, y tiene aplicaciones en el campo de las ciencias naturales y en las ciencias sociales.
   El álgebra abstracta es el campo de la matemática que estudia las estructuras algebraicas como las de grupo, anillo, cuerpo o espacio vectorial. Muchas de estas estructuras fueron definidas formalmente en el siglo XIX, y, de hecho, el estudio del álgebra abstracta fue motivado por la necesidad de más exactitud en las definiciones matemáticas. El estudio del álgebra abstracta ha permitido observar con claridad lo intrínseco de las afirmaciones lógicas en las que se basan todas la matemática y las ciencias naturales, y se usa hoy en día prácticamente en todas las ramas de la matemática. Además, a lo largo de la historia, los algebristas descubrieron que estructuras lógicas aparentemente diferentes muy a menudo pueden caracterizarse de la misma forma con un pequeño conjunto de axiomas.
   El término álgebra abstracta se usa para distinguir este campo del álgebra elemental o del álgebra de la escuela secundaria que muestra las reglas correctas para manipular fórmulas y expresiones algebraicas que conciernen a los números reales y números complejos. El álgebra abstracta fue conocida durante la primera mitad del siglo XX como álgebra moderna.
   El teorema fundamental del álgebra establece que un polinomio en una variable, no constante y a coeficientes complejos, tiene tantas raices1 como su grado, dado que las racices se cuenten con sus multiplicidades. Equivalentemente, el cuerpo de los complejos es cerrado para las operaciones algebráicas.
   En otras palabras, dado un polinomio complejo p de grado n > 0, la ecuación p(z) = 0 tiene exactamente n soluciones complejas, contando mulitplicidades

4. MARLENY LOYO. C.I. 12.078.647 16 may 2007 - 07:03 PM

   Historia de la Geometría

   La geometría clásica se encargaba de buscar construcciones con regla y compás. Posteriormente, dado que toda construcción es repetición de cinco operaciones básicas sobre unos elementos (rectas y puntos), comenzaron a tratarse como operaciones con símbolos algebraicos, y la barrera entre álgebra y geometría se difuminó hasta llegar al Programa de Erlangen [1], que define la geometría como el estudio los invariantes de un conjunto (como puede ser por ejemplo, pero no necesariamente, el espacio) mediante transformaciones. Esto quiere decir que cada grupo determina sobre un conjunto una serie de propiedades invariantes, y al estudio de cada familia de propiedades invariantes determinadas por cada grupo de transformaciones en cada conjunto es a lo que se dedica la Geometría.
   Actualmente resulta difícil, a veces, establecer una distinción precisa entre la Geometría y el Análisis. En cualquier caso son fundamentales en ella las aportaciones del Álgebra y la Topología.

   GEOMETRÍA
   La geometría es una rama de la matemática que estudia idealizaciones del espacio: puntos, rectas, planos, polígonos, poliedros, curvas, superficies, etc.

   La geometría es la parte de las matemáticas que estudia las propiedades y las medidas de las figuras en el plano o en el espacio.
   En el ámbito de las matemáticas, se distinguen varias clases de geometría:

   Geometría algorítmica:

   Aplicación del álgebra a la geometría para resolver por medio del cálculo ciertos problemas de la extensión.

   Geometría analítica:

   Estudio de figuras que utiliza un sistema de coordenadas y los métodos del análisis matemático.

   Geometría del espacio:

   Parte de la geometría que considera las figuras cuyos puntos no están todos en un mismo plano.

   Geometría descriptiva:

   Parte de las matemáticas que tiene por objeto resolver los problemas de la geometría del espacio por medio de operaciones efectuadas en un plano y representar en él las figuras de los sólidos.

   Geometría plana:

   Parte de la geometría que considera las figuras cuyos puntos están todos en un plano.

   Geometría proyectiva:

   Rama de la geometría que trata de las proyecciones de las figuras sobre un plano.

5. Adriana León 16 may 2007 - 09:52 PM

   Algebra

   El álgebra lineal es la rama de la matemática que concierne al estudio de vectores, espacios vectoriales, transformaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales. Los espacios vectoriales son un tema central en la matemática moderna; por lo que el álgebra lineal es usada ampliamente en álgebra abstracta y análisis funcional. El álgebra lineal tiene una representación concreta en la geometría analítica, y tiene aplicaciones en el campo de las ciencias naturales y en las ciencias sociales.

   La historia del álgebra lineal moderna se remonta a los años de 1843 cuando William Rowan Hamilton (de quien proviene el uso del término vector) creó los cuaterniones; y de 1844 cuando Hermann Grassmann publicó su libro Die lineare Ausdehnungslehre.

   Hoy día, el álgebra lineal se ha extendido para considerar espacios de dimensión arbitraria o incluso de dimensión infinita.
   Puesto que el álgebra lineal es una teoría exitosa, sus métodos se han desarrollado por otras áreas de la matemática: en la teoría de módulos, que remplaza al cuerpo en los escalares por un anillo; en el álgebra multilineal, uno lidia con 'múltiples variables' en un problema de mapeo lineal, en el que cada número de las diferentes variables se dirige al concepto de tensor; en la teoría del espectro de los operadores de control de matrices infi-dimensionales, aplicando el análisis matemático en una teoría que no es puramente algebraica. En todos estos casos las dificultades técnicas son mucho más grandes.
   En matemática los problemas lineales, aquellos que exhiben linealidad en su comportamiento, por lo general pueden resolverse. Por ejemplo, en el cálculo diferencial se trabaja con una aproximación lineal a funciones. La distinción entre problemas lineales y no lineales es muy importante en la práctica.

6. Norly Villanueva 16 may 2007 - 10:58 PM

   LOS NUMEROS COMPLEJOS:
   Consiste en la entidad matemática que viene dada por un par de números reales, el primero x se denomina la parte real y al segundo y la parte imaginaria. Los números complejos se representa por un par de números entre paréntesis (x, y), como los puntos del plano, o bien, en la forma usual de x+yi, i se denomina la unidad imaginaria, la raíz cuadrada de menos uno.

   ¿Se acuerdan de los números complejos? ¿Aquello de la parte real y la parte imaginaria? ¿Verdad que sí? Había un número llamado “i” con la extraña propiedad de que su cuadrado, “i” al cuadrado, es igual a 1. Cosa portentosa, pues siempre se ha dicho que un número al cuadrado tiene que dar un resultado positivo. Como es sabido, los números complejos se representan geométricamente en un plano, en el que el eje de coordenadas horizontal es el eje real y contiene todos los números reales, y el eje vertical es el llamado eje imaginario, y contiene la unidad imaginaria y todos sus múltiplos. Todo número complejo corresponde a un punto del plano cuyas coordenadas son su parte real y su parte imaginaria.

   Los números complejos aparecen por vez primera en el Renacimiento italiano. Los matemáticos de la época les atribuyeron propiedades místicas y les dieron adjetivos caprichosos como “real” e “imaginario”, que perduran hoy.

7. gregor silva C.I. 13.257.560, SECCION I001 D. ING CIVIL 17 may 2007 - 01:28 AM

   La trigonometría.
   es una rama de las matemáticas que estudia los ángulos y los lados de un Triángulo cualquiera y las relaciones entre ellos.

   Posee muchas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.

   Funciones trigonométricas

   El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C; lo usaremos para definir las funciones seno, coseno y tangente, del ángulo , correspondiente al vértice A, situado en el centro de la circunferencia.

   El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sine" en inglés) es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa,

   El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa,

   La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto y el adyacente,

   Es el cociente del seno entre el coseno.

   Otras razones trigonométricas
   Se definen la cosecante, la secante y la cotangente, como las razones inversas al seno, coseno y tangente, del siguiente modo:

   cosecante: (abreviado como csc o cosec) es la inversa de seno:

   secante: (abreviado como sec) es la inversa de coseno:

   cotangente: (abreviado como cot o cta) es la inversa de la tangente:

   Normalmente se emplean las funciones trigonométricas: seno, coseno y tangente, y salvo que haya un interés especifico en hablar de ellos o las expresiones matemáticas se simplifiquen muchísimo, los términos cosecante, secante y cotangente no suelen utilizarse.

8. Yamileth Gomez Garcia 17 may 2007 - 02:22 AM

   Describe una área de la matemática (por ej. geometría, trigonometría, algebra, combinatoria, etc.). Comenta para que se utilice y en qué consiste.

   GEOMETRIA
   Se denomina perímetro de una figura plana a la suma de las longitudes de sus lados.
   Área del rectángulo: como en un rectángulo los lados son iguales dos a dos, obtenemos la siguiente fórmula:
   __________
   ! !
   ! ! h
   !__________!
   B

   Perímetro = b+b+h+h= 2 • b + 2 • h
   Área de los polígonos regulares: como en los polígonos regulares todos los lados son iguales obtendremos las siguientes fórmulas:
   Triángulo equilátero perímetro = c + c + c = 3 • c
   Cuadrado perímetro = c + c + c + c = 4 • c
   Pentágono perímetro = c + c + c + c + c = 5 • c
   Funciones trigonométrica

   Las funciones trigonométricas son valores sin unidades que dependen de la magnitud de un ángulo. Se dice que un ángulo situado en un plano de coordenadas rectangulares está en su posición normal si su vértice coincide con el origen y su lado inicial coincide con la parte positiva del eje x.
   el punto P está situado en una línea recta que pasa por el origen y que forma un ángulo q con la parte positiva del eje x. Las coordenadas x e y pueden ser positivas o negativas según el cuadrante (I, II, III, IV) en que se encuentre el punto P; x será cero si el punto P está en el eje y o y será cero si P está en el eje x. La distancia r entre el punto y el origen es siempre positiva e igual a x ²+ y ², aplicando el teorema de Pitágoras.
   Las seis funciones trigonométricas más utilizadas se definen de la siguiente manera:
   seno (sen) del ángulo θ =
   coseno (cos) del ángulo θ =
   tangente (tg) del ángulo θ =
   cotangente (cotg) del ángulo θ =
   secante (sec) del ángulo θ =
   cosecante (cosec) del ángulo θ = sen θ = y/r
   cos θ = x/r
   tg θ = y/x
   cotg θ = x/y
   sec θ = r/x
   cosec θ = r/y
   Como la x y la y son iguales si se añaden 2p radianes al ángulo - es decir, si se añaden 360° - es evidente que sen (q + 2p) = sen q. Lo mismo ocurre con las otras cinco funciones. Dadas sus respectivas definiciones, tres funciones son las inversas de las otras tres, es decir,
   cotg θ = 1/tg θ ; sec θ = 1/cos θ ; cosec θ = 1/sen θ
   Si el punto P, de la definición de función trigonométrica, se encuentra en el eje y, la x es cero; por tanto, puesto que la división por cero no está definida en el conjunto de los números reales, la tangente y la secante de esos ángulos, como 90°, 270° y -270° no están definidas. Si el punto P está en el eje x,la y es 0; en este caso, la cotangente y la cosecante de esos ángulos, como 0°, 180° y -180° tampoco está definida. Todos los ángulos tienen seno y coseno, pues r no puede ser igual a 0.
   Como r es siempre mayor o igual que la x o la y, los valores del sen q y cos q varían entre -1 y +1. La tg q y la cotg q son ilimitadas, y pueden tener cualquier valor real. La sec q y la cosec q pueden ser mayor o igual que +1 o menor o igual que -1.
   Como se ha podido ver en los anteriores apartados, el valor de las funciones trigonométricas no depende de la longitud de r, pues las proporciones son sólo función del ángulo.
   Si q es uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo (figura 4), las definiciones de las funciones trigonométricas dadas más arriba se pueden aplicar a q como se explica a continuación. Si el vértice A estuviera situado en la intersección de los ejes x e y de la figura 3, si AC descansara sobre la parte positiva del eje x y si B es el punto P de manera que AB = AP = r, entonces el sen q = y/r = a/c, y así sucesivamente:
   sen θ = opuesto = a
   hipotenusa c

   cos θ = adyacente = b
   hipotenusa c

   tg θ = opuesto = a
   adyacente b

   cotg θ = adyacente = b
   opuesto a

   sec θ = hipotenusa = c
   adyacente b

   cosec θ =hipotenusa = c
   opuesto a

   Los valores numéricos de las funciones trigonométricas de ciertos ángulos se pueden obtener con facilidad. Por ejemplo, en un triángulo rectángulo isósceles, se tiene que q = 45 ° y que b = a, y además se sabe,por el Teorema de Pitágoras, que c2= b2+ a2. De aquí se deduce que c ² = 2.a ² o que c = a ². Por tanto

   sen 45° = cos 45° = 1/√2
   tg 45° = cotg 45° = 1
   sec 45° = cosec 45° = √2

   Los valores numéricos de las funciones trigonométricas de un ángulo cualquiera se pueden hallar de forma aproximada dibujando el ángulo en su posición normal utilizando la regla, el compás y el transportador de ángulos. Si se miden x, y y r es fácil calcular las proporciones deseadas. En realidad, basta con calcular los valores del sen q y del cos q para unos cuantos ángulos específicos.

   Nota: Este es un tipo de cálculo en particular se utiliza de acuerdo a nuestra carreara de Ing. Civil, en los cálculos de diferencia de altura o desnivel de la superficie.

9. Dexsi Castro 18 may 2007 - 09:27 PM

   El álgebra abstracta

   El álgebra abstracta es el campo de la matemática que estudia las estructuras algebraicas como las de grupo, anillo, cuerpo o espacio vectorial. Muchas de estas estructuras fueron definidas formalmente en el siglo XIX, y, de hecho, el estudio del álgebra abstracta fue motivado por la necesidad de más exactitud en las definiciones matemáticas. El estudio del álgebra abstracta ha permitido observar con claridad lo intrínseco de las afirmaciones lógicas en las que se basan todas la matemática y las ciencias naturales, y se usa hoy en día prácticamente en todas las ramas de la matemática. Además, a lo largo de la historia, los algebristas descubrieron que estructuras lógicas aparentemente diferentes muy a menudo pueden caracterizarse de la misma forma con un pequeño conjunto de axiomas.

   El término álgebra abstracta se usa para distinguir este campo del álgebra elemental o del álgebra de la escuela secundaria que muestra las reglas correctas para manipular fórmulas y expresiones algebraicas que conciernen a los números reales y números complejos. El álgebra abstracta fue conocida durante la primera mitad del siglo XX como álgebra moderna.

   Algunos ejemplos de estructuras algebraicas con una sola operación binaria son los:
   •Magmas
   •Cuasigrupos
   •Semigrupos
   •Monoides
   •Grupos

   Otros ejemplos más complejos son:
   •Anillos y cuerpos
   •Módulos y Espacios vectoriales
   •Álgebras asociativas y Álgebras de Lie
   •Retículos y álgebras de Boole

   En álgebra universal, todas esas definiciones y hechos se coleccos provee del formalismo para comparar las diferentes estructuras algebraicas

   Un ejemplo: El estudio sistemático del álgebra ha permitido a los matemáticos llevar bajo una descripción lógica común conceptos aparentemente distintos. Por ejemplo, podemos considerar dos operaciones bastante distintas: la composición de aplicaciones, f(g(x)), y el producto de matrices, AB. Estas dos operaciones son, de hecho, la misma. Podemos ver esto, informalmente, de la siguiente forma: multiplicar dos matrices cuadradas (AB) por un vector de una columna, x. Esto, de hecho, define una función que es equivalente a componer Ay con Bx: Ay = A(Bx) = (AB)x. Las funciones bajo composición y las matrices bajo multiplicación forman estructuras llamados monoides. Un monoide bajo operación es asociativo para todos sus elementos ((ab)c = a(bc)) y contiene un elemento e tal que, para cualquier valor de a, ae = ea = a.

10. Oscar Briceño 001 civil 19 may 2007 - 03:46 PM

    COMBINATORIA: hace un estudio intreinseco de los distintos grupos de agrupaciones, que se pueden fdormar y calcula el numero de las que reunen ciertas condiciones . Las ciencias experimentales hacen uso de este estudio teorico al aplicarlo a los casos practicos que se van presentando.

    1) Dos agrupaciones son iguales , si y solo si, estan formadas por los mismos elementos y estos estan dispuestos en el mismo orden.

    2) Dos agrupaciones son igualessi, y solo si, estan formadas por los mismos elementos.

    Segun la primera definicion seran distintas entre si, las agrupaciones: eso, soe, seo. eos ose , esa, eta, est, aso, ato.Pero segun la segunda , las seis primeras seran son iguales entre si.

    FORMACION DE LAS COMBINACIONES: para formar las combunaciones de distintos ordenes de elementos de un conjunto C , lo consideraremos totalmente ordenado,lo mcual quiere decir que se habra enunciado una relacion tal , que dados dos elementos de C siempre sera posible decir cual de ellos sigue al otro .

    COMBINACIONES ORDINARIAS O SIN RECEPCION: se llama combinacion n-aria de sus m elementos a toda agrupacion de n de ellos . Dos combinaciones se consideran iguales si, y solo si , estan formadas por los mismos elementos.

    PERMUTACIONES ORDINARIAS O SIN RECEPCION : se llama permutacion de los elementos del conjunto C a cualquier agrupacion que los contenga a todos. Dos permutaciones de m elementos son iguales si, y solo si, los elementos estan colocadis en el mismo orden.

    VARIACIONES ORDINARIAS O SIN RECEPCION: se llama variacion n-aria de sus m elementos a toda agrupacion de n de ellos . Dos variaciones se consideran iguales si, y solo si , estan formadas por los mismos elementos colocados en el mismo orden.

11. raul cesar seccion 001 ing civil 19 may 2007 - 05:49 PM

    ESTADISTICA:

    La estadística es una ciencia matemática que se refiere a la colección, estudio e interpretación de los datos obtenidos en un estudio. Es aplicable a una amplia variedad de disciplinas, desde la física hasta las ciencias sociales y usada en la toma de decisiones en áreas de negocios e instituciones gubernamentales.
    La Estadística se divide en dos ramas:
    • La estadística descriptiva, que se dedica a los métodos de recolección, descripción, visualización y resumen de datos originados a partir de los fenómenos en estudio. Los datos pueden ser resumidos numérica o gráficamente. Ejemplos básicos de descriptores numéricos son la media y la desviación estándar. Resúmenes gráficos incluyen varios tipos de figuras y gráficos.
    • La inferencia estadística, que se dedica a la generación de los modelos, inferencias y predicciones asociadas a los fenómenos en cuestión teniendo en cuenta el aleatorio e incertidumbre en las observaciones. Se usa para modelar patrones en los datos y extraer inferencias acerca de la población de estudio. Estas inferencias pueden tomar la forma de repuestas a preguntas si/no (prueba de hipótesis), estimaciones de características numéricas (estimación, pronósticos de futuras observaciones, descripciones de asociación (correlación) o modelamiento de relaciones entre variables (análisis de regresión). Otras técnicas de modelamiento incluyen ANOVA, series de tiempo y minería de datos.
    Ambas ramas (descriptiva e inferencial) comprenden la estadística aplicada. Hay también una disciplina llamada estadística matemática, la cual se refiere a las bases teóricas de la materia. La palabra estadísticas también se refiere al resultado de aplicar un algoritmo estadístico a un conjunto de datos, como en estadísticas económicas, estadísticas criminales, etc.

12. jescesther carvajalino 001 ing.civil 19 may 2007 - 06:31 PM

    ¿Qué es la Combinatoria?

    La combinatoria es una rama de la matemática que estudia colecciones finitas de objetos que satisfacen unos criterios especificados, y se ocupa, en particular, del "recuento" de los objetos de dichas colecciones (combinatoria enumerativa) y del problema de determinar si cierto objeto "óptimo" existe (combinatoria extremal). Uno de los más destacados combinatorialistas de los últimos tiempos ha sido Gian-Carlo Rota, cuyas contribuciones han ayudado a formalizar el tema desde la década de 1960. El prolífico matemático Paul Erdős trabajó principalmente en problemas extremales. El estudio de cómo contar objetos es a veces considerado por separado como el campo de la enumeración.

    Un ejemplo de pregunta combinatoria es la siguiente: ¿Cuántas ordenaciones pueden hacerse en un mazo de 52 cartas? Ese número es 52! (o sea, "cincuenta y dos factorial"). Es el producto de todos los números naturales desde 1 al 52. Puede parecer sorprendente lo extremadamente grande que es este número, alrededor de 8,07 × 10 a la 67. Es algo más de 8 seguido de 67 ceros. Comparando ese número con otros números enormes, es mayor que el cuadrado del número de Avogadro, 6,02 × 10 a la 23, "el número de átomos, moléculas, etc., que hay en un mol" y es del mismo orden magnitud, 10 a la 67, que la cantidad de átomos en la Vía Láctea.

13. Richard piñero 19 may 2007 - 10:43 PM

    La geometría es una rama de la matemática que estudia idealizaciones del espacio: puntos, rectas, planos, polígonos, poliedros, curvas, superficies, etc. Se utiliza para solucionar problemas concretos y es la justificación teórica de muchos instrumentos: compás, teodolito, pantógrafo, etc. Una parte importante de la geometría clásica es el estudio de las construcciones con regla y compás.
    También da fundamento teórico a inventos como el sistema de posicionamiento global (en especial cuando se la considera en combinación con el Análisis Matemático y sobre todo con las Ecuaciones diferenciales). Es útil en la preparación de diseños (justificación teórica de la Geometría Descriptiva y del Dibujo Técnico), e incluso en la fabricación de artesanías.
    Historia de la Geometría
    La geometría clásica se encargaba de buscar construcciones con regla y compás. Posteriormente, dado que toda construcción es repetición de cinco operaciones básicas sobre unos elementos (rectas y puntos), comenzaron a tratarse como operaciones con símbolos algebraicos, y la barrera entre álgebra y geometría se difuminó hasta llegar al Programa de Erlangen [1], que define la geometría como el estudio los invariantes de un conjunto (como puede ser por ejemplo, pero no necesariamente, el espacio) mediante transformaciones. Esto quiere decir que cada grupo determina sobre un conjunto una serie de propiedades invariantes, y al estudio de cada familia de propiedades invariantes determinadas por cada grupo de transformaciones en cada conjunto es a lo que se dedica la Geometría.
    Actualmente resulta difícil, a veces, establecer una distinción precisa entre la Geometría y el Análisis. En cualquier caso son fundamentales en ella las aportaciones del Álgebra y la Topología.

    Axiomas
    Los axiomas son proposiciones, o afirmaciones, que relacionan conceptos. Excepto el punto, la recta y el plano, todo otro concepto que se enuncie debe ser definido en función de los primeros (del punto, la recta o el plano).
    En las distintas geometrías sintéticas se distinguen cuatro grupos de axiomas. Un quinto grupo de axiomas (el axioma de paralelismo) es el que distinguirá una geometría de otra:
    1-Existencia e Incidencia
    Son aquellos axiomas que nos dan las condiciones para asegurar la existencia de puntos, rectas y planos y cómo inciden unos en otros.
    Existen infinitos puntos, existen infinitos planos (que son conjuntos parciales e infinitos de puntos), también existen infinitas rectas (que también son conjuntos parciales e infinitos de puntos de un plano).
    Para determinar una recta, son necesarios dos puntos distintos (y solo dos). En cambio, para determinar un plano son necesarios tres, y que los tres no determinen una recta.
    Si dos puntos de una recta están en un plano, toda la recta está en el plano. Si dos puntos de una recta están en otra recta, ambas rectas coinciden (son las mismas).
    2- Ordenación
    Ordenación en la recta: Estos axiomas ayudan a que la recta quede determinada como lo que conocemos como recta (o, mejor dicho, como nuestro ideal de recta. Téngase en cuenta que nunca la definimos).
    • Axioma de Ordenación: Dados tres puntos distintos sobre una recta, uno está entre los otros dos. Asegura que todo segmento sea divisible. Si seleccionamos un punto cualquiera en una recta, el resto de los puntos de la recta quedan divididos en dos clases (los que están en un lado y los que están en el otro).
    • Axioma de Pascho: Dado un triángulo y una recta que no pasa por sus vértices, o la recta es externa al triángulo, o pasa por dos de los lados.
    Este axioma garantiza que una recta divide a los puntos del plano en dos categorías (los que están de un lado se considera un movimiento).
    • Solo existe un movimiento que transforma una semirrecta en otra y un semiplano determinado por la misma en otro determinado por la otra.
    3- Congruencia
    Se definen los conceptos siguientes:
    • Segmento: Conjunto de puntos consecutivos limitados por otros dos puntos dentro de una recta.
    • Ángulo: Un punto y un par de semirrectas que parten de él.
    Sobre estos dos conceptos recién definidos postulamos la existencia de una relación de congruencia, que es el equivalente axiomático de los movimientos. Básicamente, dados dos segmentos o dos ángulos, aceptamos que existe algún método que nos permite decir si son congruentes o no.
    Sea cual sea el método para determinar la congruencia se le exigen los siguientes postulados:
    • Todo segmento es congruente consigo mismo.
    • Si un segmento es congruente con uno dado, el dado es congruente con el primero.
    • Si dos segmentos son congruentes con un tercero son congruentes entre ellos.
    • Dados dos segmentos formando un ángulo, congruentes con otros dos que forman un ángulo congruente, al unir los extremos sueltos para formar dos triángulos, los tres lados y los tres ángulos serán congruentes (es decir, se postula que un triángulo queda definido por dos lados y su ángulo).
    4-Continuidad
    • Axioma de Arquímedes: Se impone que un segmento pueda dividirse en dos indefinidamente.
    • Axioma de la plenitud: Se impone que el conjunto de puntos de una línea no pueda ser ampliado mediante cierres (límites de sucesiones).
    Definiciones
    Se puede ver que en los anteriores axiomas todo es aceptable, excepto el detalle (importante) de que no dijimos qué es una semirrecta, qué es un semiplano y qué es un movimiento (o sea, omitimos hasta ahora definir estos conceptos).
    Semirrecta
    Una semirrecta es el conjunto de todos los puntos de una recta que están a un lado de un punto de ésta. Para determinarla se especificará la recta en cuestión, el punto que la divide y un punto del lado elegido (téngase en cuenta que el punto que divide a la recta pertenece a la semirrecta en cuestión).
    Semiplano
    Un semiplano, análogo a la semirrecta, es el conjunto de puntos del plano que están a un lado de una recta. Para determinarlo se especifica el plano en cuestión, la recta que lo divide y un punto del lado elegido (téngase en cuenta que la recta que divide al plano pertenece al semiplano en cuestión).
    Movimiento
    La definición de un movimiento es más complicada que las anteriores, pero se hace más clara cuando se avanza en el estudio de los mismos. Aquí diremos simplemente que se trata de transformaciones que modifican figuras (puntos, rectas, planos, semiplanos, etc.) en otros de la misma clase; a éstos últimos se les llama "homólogos de los primeros en la transformación". Hay que tener en cuenta que los mismos, transforman un punto que pertenece a una recta, en otro punto que pertenece a la recta homóloga. Esto se puede ver cuando se piensa que si movemos una caja, que tiene un dibujo, el mismo seguirá en la caja al terminar de moverlo. Se puede definir también como movimiento a una transformación de coordenadas en un espacio, de forma tal que la métrica de este espacio sea invariante, es decir, entre dos puntos cualesquiera de éste la distancia entre éstos permanezca invariable.
    Teoremas
    Teniendo en cuenta los axiomas precedentes podemos demostrar una vasta cantidad de teoremas.
    • Podemos afirmar por ejemplo que entre dos puntos de una recta existen infinitos puntos (obsérvese que eso no lo habíamos dicho), y para demostrarlo basta con aplicar el axioma que nos indica que hay un punto entre ambos repetidas veces (primero entre los dos puntos dados y luego entre uno de los puntos dados y el punto indicado en el axioma, etc.)
    • También podemos afirmar que una recta cualquiera y un punto fuera de ella, determinan un plano (que contiene a la recta y al punto simultáneamente). La demostración se basa en observar que la recta está determinada por dos puntos (cualesquiera) de ésta; los tres puntos (el que teníamos y los de la recta) determinan un plano, que contiene al punto y a la recta (ya que la recta tiene dos puntos en el plano).

    Figura 1: El punto "A" y el punto "B" determinan a la recta "r" (por el axioma citado). Sabemos que existe un punto C en el plano (toda la imagen está en un plano). Los puntos B y C determinan la recta s. y sabemos que entre B y C hay infinitos puntos (por el teorema citado). Esos puntos están fuera de la recta r y están dentro del plano.
    • Como un ejemplo más complejo, podemos afirmar que dada una recta en un plano, existen infinitos puntos del plano que no pertenecen a la recta. Esto parece obvio, pero demostrarlo es complicado; primero, vemos que existe un punto dentro del plano y fuera de la recta (por el axioma que nos dice que la recta es un conjunto parcial de puntos). Para demostrar que los puntos son infinitos, vemos que entre ese punto fuera de la recta y un punto cualquiera de la recta, hay infinitos puntos (recurriendo al primer teorema que enunciamos) y éstos deben estar fuera de la recta (ya que si tuvieran otro punto común las dos rectas coincidirían y eso es una contradicción, ya que aclaramos que el punto fuera de la recta estaba fuera de la recta). Véase la figura 1.
    Las figuras geométricas y las construcciones
    Una figura geométrica es, en la geometría euclidiana, todo espacio encerrado entre líneas. Las construcciones son secuencias de operaciones elementales para construir estas figuras geométricas.
    En Geometría Clásica solo se buscaban construcciones con regla y compás. Las construcciones son equivalentes al concepto de algoritmo en un álgebra.
    La geometría ha sido desde los principios de la humanidad un mecanismo utilizado para encontrar soluciones a los problemas más comunes de quienes la han aplicado en su vida, pues, entre otros usos, facilita la medición de estructuras sólidas reales, tanto tridimensionales como superficies planas y además es bastante útil para la realización de complejas operaciones matemáticas.
    El avance de la geometría depende fuertemente del avance en las definiciones; las propiedades de los triángulos son posibles de enunciar sin hacer referencia a éstos, pero sería un proceso largo, tedioso e inútil. Por lo tanto, los teoremas relativos a cada figura que se defina (y su respectiva definición), serán enunciados dentro de sus páginas respectivas.
    • Las figuras fundamentales (sin definición): punto, recta y plano.
    • En la recta se pueden ver: segmentos, semirrectas y vectores.
    • En el plano, una recta determina dos semiplanos; su intersección determina las figuras convexas: faja, ángulo, triángulo, cuadriángulo y polígono.
    • Utilizando el concepto de distancia, se definen: el círculo y la esfera.
    • Utilizando el concepto de semiespacio se definen: el diedro, el espacio prismático, el triedro, el ángulo poliedro y los poliedros. Entre los últimos encontramos como casos particulares: el tetraedro, el prisma, la pirámide y el paralelepípedo.
    • El concepto de círculo en el espacio da origen a: el cono y el cilindro.
    Existen otras figuras geométricas, que serán definidas dentro de cada página vinculada a ésta.
    Relaciones y propiedades
    Entre dos o más figuras puede haber relaciones diferentes: dos rectas pueden ser paralelas, perpendiculares u oblicuas (se cortan en un punto formando ángulos no rectos). En el espacio, también pueden ser alabeadas (o cruzadas). Nótese que estas relaciones son definiciones (en nuestro esquema). Uno de los conceptos más importantes dentro de la geometría es el de congruencia o igualdad.
    Clases de geometrías
    Cada sistema axiomático determina una matemática (en este caso una geometría). Si nosotros agregamos mayor cantidad de axiomas, todos los teoremas válidos en la primera geometría valen también para la segunda (la que tiene los axiomas de la primera y otros más).
    Los axiomas hasta aquí enunciados se encuentran en todas las geometrías (aunque no siempre enunciados en la misma forma). A esta geometría se le llama geometría absoluta o geometría neutral.

14. miguel lopez 20 may 2007 - 12:25 AM

    ECUACION DIFERENCIAL:
    Consiste en una ecuaciòn que contiene derivadas ( o diferenciales) de una o màs variables dependientes con respecto a una o màs variables independientes.
    Ejemplos:
    sen x.dx -coy.dy = 0

    (3x - 2y)dx - (X - 5Y - 6)DY = 0

    Objeto de las Ecuaciones Diferenciales:
    Las Ecuaciones Diferenciales forma el corazòn del Anàlisis, rama dominante de las Matemàticas durante los ùltimos 300 años. Dicha asignatura es el objetivo elemental del Càlculo Elemental y constituye una poderosa herramienta para solucionar mùltiples problemas que surgen en Ingenierìa, tales como la dterminaciòn de la carga (q) o corriente (i) en un circuito elèctrico, la conducciòn de calor, las reacciones quìmicas, los problemas de mezclas, el movimiento de una partìcula sobre la que actùa una fuerza dada (F), el movimiento de proyectiles, la deteerminacoòn de trayectorias ortogonales, el escape de lìquidos, la vibraciòn de cuerdas, la propagaciòn de señales elèctricas, la flexiòn de vigas, etc. Ademàs, contribuye notablemente a la teorìa del radar, de la electrònica, de la mecànica, de la astronomìa, etc.
    Todos estos problemas cuando son formulados en tèrminos matemàticos (mòdelos matemàticos), requieren de la determinaciòn de una funciòn que satisfaga a una ecuaciòn que contiene derivadas de la funciòn desconocida. Tales ecuaciones son llamadas ecuaciones difereciales. O sea, que para obtener una ùtil informaciòn de la ecuaciones diferenciales es necesario resolverlas aplicando los mètodos respectivos (separadas, separables, exacta, homògenea, lineal, Bernoulli, factor integrante, Ricatti, etc.), y encontrar una soluciòn (funciòn o funciones), la cual es llamada soluciòn general de la E.D.O

15. Pavel Antonio Rodriguez M. 21 may 2007 - 02:35 AM

    El álgebra es la rama de la matemática que estudia estructuras, relaciones y cantidades. Junto a la geometría, el análisis matemático, la combinatoria y la teoría de números, el álgebra es una de las principales ramas de la matemática.

    La palabra álgebra deriva del tratado escrito por el matemático persa Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi, titulado Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala (en árabe كتاب الجبر والمقابلة ) (que significa "Compendio de cálculo por el método de completado y balanceado"), el cual proporcionaba operaciones simbólicas para el solución sistemática de ecuaciones lineales y cuadráticas.

    Etimológicamente, la palabra álgebra (también nombrado por los árabes Amucabala) جبر (yebr) (al-dejaber), proviene por lo tanto del árabe y significa reducción, operación de cirugía por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el médico reparador de huesos).

    Desarrollo posterior

    El álgebra dio lugar con el tiempo a desarrollos más complejos, de tal manera que es común dividir hoy en día todo el álgebra en las siguientes categorías:

    álgebra elemental, que se restringe al uso de símbolos abstractos para cantidades numéricas y a la resolución de problemas matemáticos elementales eminentemente prácticos por medio de signos;
    álgebra abstracta, que se ocupa del estudio en sí mismas de las estructuras algebraicas y sus propiedades. Dentro de esta se distingue
    Álgebra lineal
    Álgebra universal
    Teoría de números algebraicos
    Geometría algebraica
    En este artículo explicaremos básicamente el desarrollo del álgebra elemental con oportunas referencias a los otros desarrollos más complejos.

    Historia del álgebra

    El álgebra (una de las ramas más importantes de las matemáticas) tuvo sus primeros avances en las civilizaciones de Babilonia y Egipto, entre el cuarto y tercer milenio antes de Cristo. Estas civilizaciones usaban primordialmente el álgebra para resolver ecuaciones de primer y segundo grado.

    El álgebra continuó su constante progreso en la antigua Grecia. Los griegos usaban el álgebra para expresar ecuaciones y teoremas, un ejemplo es el Teorema de Pitágoras. Los matemáticos más destacados en este tiempo fueron Arquímedes, Herón y Diofante. Arquímedes se basó en la matemática para componer su tratados de física y geometría del espacio. Herón fue otro que se basó en ellas para hacer algunos de sus inventos, como la primera máquina de vapor. Diofante fue el griego que más contribuyó a esta área del conocimiento; como principales trabajos tenemos al análisis diofántico y la obra Las Aritméticas, que recopila todo el conocimiento del álgebra existente hasta entonces.

    Como consecuencia, el álgebra cambió de rumbo y amplió su dominio a todas las teorías que se habían inventado alrededor del tema inicial, incorporando las teorías de los grupos matemáticos y sus extensiones, y parte de la geometría, la rama relacionada con los polinomios de segundo grado de dos variables, es decir las cónicas elipse, parábola, hipérbola, círculo, ahora incluidas en el álgebra bilineal.

    El álgebra se fundió con éxito con otras ramas de la matemática como la lógica (álgebra de Boole), el análisis matemático y la topología (álgebra topológica).

    Clasificación

    Álgebra lineal
    Álgebra abstracta

    El Algebra lo puedes utilizar para todo. El Chiste no es usarla si no plantear los problemas algebraicamente. Partiendo de datos conocidos.

    Por ejemplo en un viaje. Tienes un origen y un destino, conoces las distancia, con esto puedes sacar Tiempo en que tomara llegar al destino. Puedes sacar a que velocidad debes de viajar para llegar en un tiempo fijo.

    Asi como este ejemplo puedes utilizarlo para la vida diaria. Jugar Billar (conociendo el angulo apropiado) , Mover un objeto (conocer la fuerza y punto de equilibrio) Eventos (conocer costos de operacion y precio) etc. etc.

16. Liana Suarez- Ing. Civil I-001-D 21 may 2007 - 04:56 PM

    El Análisis
    El Análisis, es una rama de las matemáticas que estudia los números reales, los complejos y sus funciones. Se empieza a desarrollar a partir del inicio de la formulación rigurosa del Cálculo y estudia conceptos como la continuidad, la integración y la diferenciabilidad de diversas formas.
    Historia
    El análisis se origina en el siglo XVII, en el que Newton y Leibniz inventan el cálculo. En dicho siglo y en el siglo XVIII, ciertos tópicos del análisis como el cálculo de variaciones, las ecuaciones diferenciales y ecuaciones en derivadas parciales, el análisis de Fourier y las funciones generadoras fueron desarrolladas principalmente para un trabajo de aplicación. Las técnicas del Cálculo fueron aplicadas con éxito en la aproximación de problemas discretos mediante los continuos.
    A todo lo largo del siglo XVIII la definición del concepto de función estuvo sujeta a debate entre los matemáticos. En el siglo XIX, Cauchy fue el primero que fundó estableció el cálculo sobre unos firmes fundamentos lógicos mediante el uso del concepto de Sucesión de Cauchy. También inició la teoría formal del Análisis complejo. Poisson, Liouville, Fourier y otros, estudiaron ecuaciones en derivadas parciales y el Análisis armónico.
    Mediado dicho siglo, Riemann introduce su teoría de la integración. En el último tercio del siglo XIX Weierstrass lleva a la aritmetización del análisis, ya que pensaba que el razonamiento geométrico era engañoso por naturaleza, e introduce la definición ε-δ de Límite. Entonces los matemáticos empezaron a preguntarse si no estarían asumiendo la existencia de cierto Continuo de números reales sin probar su existencia. Dedekind entonces construye los números reales mediante Cortaduras de Dedekind. Sobre la misma época, los intentos de refinar los teoremas de Integración de Riemann llevaron hacia el estudio del "tamaño" de los conjuntos de discontinuidad de funciones reales.
    También, funciones "monstruos" (funciones continuas en ninguna parte, funciones continuas pero no diferenciables en ningún punto, Curva que llena el espacio) comenzaron a surgir. En este contexto Jordan desarrolló su teoría de medida, Cantor lo hizo con lo que ahora se llama teoría básica de conjuntos, y Baire prueba el Teorema de la categoría de Baire. A principios del siglo XX, el cálculo se formaliza usando Teoría de conjuntos. Lebesgue resuelve el problema de la medida, y Hilbert introduce los espacios de Hilbert para resolver ecuaciones integrales. La idea de espacios vectoriales normados estuvo en ciernes, y en los años 1920 Banach crea el Análisis funcional.
    Subdivisiones
    El análisis, actualmente se divide en los siguientes campos:
    Análisis real, esto es, el estudio formalmente riguroso de las derivadas e integrales de las funciones real-valuadas, lo que incluye el estudio de límites, Series de potencias y de las Medidas.
    Análisis funcional, que estudia espacios y funciones e introduce conceptos como los de espacios de Banach y espacios de Hilbert.
    Análisis armónico, que trata de las Series de Fourier y de sus abstracciones.
    Análisis complejo, que estudia funciones que van del Plano complejo hacia sí mismo siendo complejo-diferenciables.
    Análisis no-estándar, que investiga ciertos números híper-reales y sus funciones y da un tratamiento riguroso de los números infinitesimales y los infinitamente grandes.

17. Yolisbet Rea 21 may 2007 - 05:32 PM

    Matrices
    Fecha de primera versión: 20-09-99
    Fecha de última actualización: 01-10-99

    Introducción:
    Las matrices surgen del estudio de la resolución de los sistemas de ecuaciones
    Sea el sistema de ecuaciones lineales:
    a11x1 + ... + a1nxn = b1
    a21x1 + ... + a2nxn = b2
    ....................................
    am1x1 + ... + amnxn = bm
    Los coeficientes de este sistema se pueden escribir de esta forma:
    <>
    Definicion
    Un conjunto de N numeros dispuestos en n filas y m columnas, tal que n × m = N es un matriz.
    Una matriz se suele representar por una letra mayuscula y los elementos de dicha matriz se representan por la correspondiente letra minuscula con dos subindices que indican la fila y columna.
    Por ejemplo la matriz A y el elemento a12 (elemento de la fila 1, columna 2).
    Tipos de matrices
    Cuando el número de filas es igual al de columnas (n = m) la matriz se llama matriz cuadrada.
    Cuando n = 1 la matriz se llama matriz fila.
    Cuando m = 1 la matriz se llama matriz columna.
    Las matrices fila y columna se llaman habitualmente vectores.
    Cuando en una matriz cuadrada son ceros todos los elementos que no estan en la diagonal principal (la que va desde el angulo superior izquierdo al angulo inferior derecho) la matriz se llama matriz diagonal.
    Si una matriz diagonal tiene todos los terminos de la diagonal iguales se llama matriz escalar.
    Si una matriz diagonal tiene todos los terminos de la diagonal iguales a 1 se llama matriz unidad.
    Las matrices cuadradas en las que aij = 0 siempre que i > j o bien aij = 0 siempre que i
    Producto de un número por una matriz.
    Para multiplicar un numero por una matriz, se multiplica cada elemento de la matriz por el número.
    Producto de matrices
    Para multiplicar dos matrices es indispensable que el número de columnas de la primera matriz sea igual al número de filas de la segunda matriz.
    Traspuesta de una matriz
    Dada una matriz, su traspuesta es la formada al disponer la fila 1 como columna 1, la fila 2 como columna 2... la fila n como columna n.
    La traspuesta de la matriz A se designa por tA
    Determinantes
    El determinante de la matriz A se designa por |A|
    <>
    El determinante de esta matriz es a11× a22 - a12× a21
    <>
    El determinante de esta matriz es a11× a22× a33 + a21× a32× a13 + a31× a12× a23 - a13× a22× a31 - a23× a32× a11 - a33× a21× a12
    Propiedades de los determinantes
    Los determinantes de una matriz y de su traspuesta son iguales. |A| = |tA|.
    Si en una matriz se intercambian de posicion dos filas o dos columnas, el determinante cambia de signo.
    Si se multiplican todos los elementos de una fila (o de una columna) por un número, el determinante queda multiplicado por ese número.
    Si dos filas (o dos columnas) de una matriz son iguales, el determinante es cero.
    Si dos filas (o dos columnas) de una matriz son proporcionales, el determinante es cero.
    Si descomponemos en dos sumandos cada numero de una fila (o de una columna) de una matriz, la suma de los determinantes de las dos matrices obtenidas con la descomposicion en sumandos, es igual al determinante de la matriz original.
    Si una fila (o columna) es combinacion lineal de las otras filas (o columnas) de una matriz, el determinante es cero.
    Si cambiamos una fila (o una columna) por la obtenida por la suma de esa fila mas el producto de otra fila (o columna) por una constante, el determinante no varia.
    Se pueden hacer transformaciones, siguiendo las reglas anteriores, en una matriz, de tal forma que, todos los elementos de una fila (o columna) sean ceros y el determinante no varie.
    Menor complementario
    Menor complementario del elemento aij es el determinante de la matriz formada al suprimir la fila y la columna en la que esta el elemento aij.
    El menor complementario de aij es ij.
    Adjunto de un elemento
    Es el determinante de la matriz formada aplicando esta fórmula (-1)i+jij.
    Matriz inversa
    La matriz inversa de A se designa por A-1
    Para calcular la inversa de una matriz, primero se calcula su determinante. Si el determinante es cero la matriz no tiene inversa.
    A continuacion se calculan los adjuntos de cada elemento de la matriz.
    Despues se divide cada adjunto por el determinante de la matriz.
    Despues se forma la matriz poniendo los valores obtenidos correspondientes a la posicion ij en la posicion ji
    Vamos a calcular la inversa de la matriz
    <>
    El determinante es 5 y la inversa
    <>
    Menor de una matriz
    Dada una matriz, se puede obtener, suprimiendo algunas filas y columnas, otras matrices que se llaman submatrices. Si la submatriz es cuadrada y tiene k filas (tambien tendra k columnas), a su determinante se llama menor de orden k de la matriz dada.
    Si el menor de orden k es distinto de cero, y todos los menores de orden k + 1 son cero, o no existen, a ese menor se llama menor principal de orden k.
    Rango de una matriz
    El rango de una matriz A es el número natural k si k es el orden del mayor menor de la matriz A.
    Vectores propios y valores propios
    Un vector X (distinto de cero) es un vector propio de la matriz A si se cumple AX =X. El número  se llama valor propio. Los vectores propios tambien se llaman autovectores y los valores propios autovalores.
    Desarrollando la expresión AX =X obtenemos el sistema:
    (a11 - )x1 + a12x2 + ... + a1nxn = 0
    a21x1 + (a22- )x2 + ... + a2nxn = 0
    ..........................................
    an1x1 + an2x2 + ... + (ann- )xn = 0

18. maria restrepo 21 may 2007 - 07:15 PM

    Función trigonométrica

    En matemática, las funciones trigonométricas son funciones de un ángulo; tienen importancia en el estudio de la geometría de los triángulos y en la representación de fenómenos periódicos, entre otras muchas aplicaciones. Se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo que contiene al ángulo, y pueden definirse igualmente como la longitud de varios segmentos partiendo de un círculo que represente a la unidad. Definiciones más modernas las expresan como series infinitas o como solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos. Todos estos aspectos serán desarrollados a continuación.

    El estudio de las funciones trigonométricas se remonta a la época de Babilonia, y muchos de los fundamentos del tema fueron desarrollados por matemáticos de la antigua Grecia, de la India y estudiosos árabes.

    Según el uso moderno, existen seis funciones trigonométricas básicas, las que se tabulan abajo junto a las ecuaciones que las relacionan. Especialmente en el caso de las últimas cuatro, tales relaciones se toman como definición de las funciones, pero es posible definirlas geométricamente o por otros medios y luego encontrar estas relaciones. Una pocas funciones más fueron comunes históricamente y aparecieron en las primeras tablas, pero no se utilizan actualmente, por ejemplo el verseno (1 − cos θ) y la exsecante (sec θ − 1).

    El primer uso de la función seno aparece en el Sulba Sutras escrito en India desde el Siglo VIII AC hasta el Siglo VI AC. Las funciones trigonométricas fueron estudiadas luego por Hiparco de Nicea (180-125 AC) ,Aryabhata (476–550), Varahamihira, Brahmagupta, Muḥammad ibn Mūsā al-Ḵwārizmī, Abu'l-Wafa, Omar Khayyam, Bhaskara II, Nasir al-Din Tusi, Regiomontanus (1464), Ghiyath al-Kashi y Ulugh Beg (Siglo XIV), Madhava (c. 1400), Rheticus , y el alumno de éste, Valentin Otho. La obra de Leonhard Euler Introductio in analysin infinitorum (1748) fue la que estableció el tratamiento analítico de las funciones trigonométricas en Europa. definiéndolas como series infinitas presentadas en las llamadas "Fórmulas de Euler" .

    La noción de que debería existir alguna correspondencia estándar entre la longitud de los lados de un triángulo siguió rápidamente a la idea de que triángulos similares mantienen la misma proporción entre sus lados. Esto es, que para cualquier triángulo similar la relación entre la hipotenusa y otro de los lados permanece igual. Si la hipotenusa es el doble de larga, así serán los catetos. Justamente estas proporciones son las que expresan las funciones trigonométricas.

19. eduardo barrios c.i. 14614770 21 may 2007 - 10:12 PM

    COMBINATORIA

    La combinatoria es una rama de la matemática que estudia colecciones finitas de objetos que satisfacen unos criterios especificados, y se ocupa, en particular, del "recuento" de los objetos de dichas colecciones (combinatoria enumerativa) y del problema de determinar si cierto objeto "óptimo" existe (combinatoria extremal). Uno de los más destacados combinatorialistas de los últimos tiempos ha sido Gian-Carlo Rota, cuyas contribuciones han ayudado a formalizar el tema desde la década de 1960. El prolífico matemático Paul Erdős trabajó principalmente en problemas extremales. El estudio de cómo contar objetos es a veces considerado por separado como el campo de la enumeración.

    Un ejemplo de pregunta combinatoria es la siguiente: ¿Cuántas ordenaciones pueden hacerse en un mazo de 52 cartas? Ese número es 52! (o sea, "cincuenta y dos factorial"). Es el producto de todos los números naturales desde 1 al 52. Puede parecer sorprendente lo extremadamente grande que es este número, alrededor de 8,07 × 1067. Es algo más de 8 seguido de 67 ceros. Comparando ese número con otros números enormes, es mayor que el cuadrado del número de Avogadro, 6,02 × 1023, "el número de átomos, moléculas, etc., que hay en un mol" y es del mismo orden magnitud, 1067, que la cantidad de átomos en la Vía Láctea.

20. EDUARDO BARRIOS C.I. 14614770 21 may 2007 - 10:31 PM

    La Combinatoria es la parte de las Matemáticas que estudia las diversas formas de realizar agrupaciones con los elementos de un conjunto, formándolas y calculando su número.

    Existen distintas formas de realizar estas agrupaciones, según se repitan los elementos o no, según se puedan tomar todos los elementos de que disponemos o no y si influye o no el orden de colocación de los elementos:

    Variaciones sin repetición.
    Variaciones con repetición.
    Permutaciones sin repetición.
    Permutaciones con repetición.
    Combinaciones sin repetición.
    Combinaciones con repetición

21. Eglys Rojas 22 may 2007 - 12:41 AM

    Estadística.
    Rama de las Matemáticas que se basa en la obtención de los métodos adecuados para obtener conclusiones razonables cuando hay incertidumbre. Esta ciencia tiene como principal objeto aplicar las leyes de la cantidad a hechos sociales para medir su intensidad, deducir las leyes que lo rigen y hacer un predicción próxima. Existen dos ramas muy diferentes dentro de la estadística: la estadística descriptiva y la estadística matemática.

    Desde Pitágoras hasta Kröecker, han sido muchos los matemáticos que han pensado que la noción de número entero era la base de su ciencia y, por tanto de todos los fenómenos naturales. Esta noción tan simple, no ha dejado de generalizarse y de afinarse; así la Aritmética ha visto surgir paso a paso los números relativos y los números negativos, los números fraccionarios, irracionales, imaginarios, complejos, hipercomplejos, ideales etc.

    Las expresiones analíticas se han originado en el seno del Álgebra (en el sentido clásico de la palabra) y del Análisis. Operando tanto sobre números como sobre letras que representan números, combinándolos mediante diversas operaciones, comparándolos, el álgebra manipula con fórmulas ( que indican las operaciones que hay que realizar con los números y con las letras para llegar al resultado buscado), con ecuaciones (en las que una o más letras designan incógnitas que se trata de hallar), con funciones (en las que los valores que toman una o más de las letras pueden variar de manera que conviene saber describir y estudiar la historia de estas variaciones).

    El Análisis Infinitesimal estaba constituido inicialmente por los Cálculos diferencial e integral así como por la Teoría de las ecuaciones diferenciales (en las que se trata de averiguar, no un número desconocido sino una función desconocida). Con posterioridad ha visto ensancharse su campo de acción con la Teoría de las Ecuaciones en Derivadas parciales, después con el estudio de las Ecuaciones integrales y de las Ecuaciones integro-diferenciales, con el Cálculo de Variaciones y por fin con las Ecuaciones funcionales, en las que se trata de hallar una función a partir de ciertas de sus propiedades.

    El objeto de la Geometría era la noción de Espacio y ha conocido también muchas generalizaciones: La Geometría clásica estudia la forma y propiedades de las figuras pertenecientes a un espacio métrico euclidiano de tres dimensiones, que no es más que una idealización del espacio que nos sugiere la experiencia rutinaria. Partiendo de esta noción intuitiva, los geómetras han tratado después de un número mayor de dimensiones y, por último de una infinidad de dimensiones. Han considerado también espacios con propiedades diferentes de las del nuestro; espacios afines, proyectivos, riemannianos, etc desembocando estas generalizaciones en los espacios abstractos de un número cualquiera de dimensiones.
    La Geometría analítica ha permitido establecer un puente entre, por una parte, la Aritmética y el Álgebra y por otra, la Geometría.
    La Geometría infinitesimal ha permitido la aplicación del Análisis infinitesimal al estudio de las figuras del espacio.
    Por su parte, el Cálculo de Probabilidades que es la ciencia del azar (o Estocástica) extrae su savia de la ley de la separaciones y de la ley de los grandes números. El aspecto experimental de esta ciencia lo constituye la Estadística que ha invadido la mayoría de las Ciencias y de las técnicas y, entre las más recientes, la Investigación operativa.

22. Sara Hurtado 22 may 2007 - 01:05 AM

    Álgebra, rama de las matemáticas en la que se usan letras para representar relaciones aritméticas. Al igual que en la aritmética, las operaciones fundamentales del álgebra son adición, sustracción, multiplicación, división y cálculo de raíces. La aritmética, sin embargo, no es capaz de generalizar las relaciones matemáticas, como el teorema de Pitágoras, que dice que en un triángulo rectángulo el área del cuadrado que tiene como lado la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados cuyos lados son los catetos. La aritmética sólo da casos particulares de esta relación (por ejemplo, 3, 4 y 5, ya que 32 + 42 = 52). El álgebra, por el contrario, puede dar una generalización que cumple las condiciones del teorema: a2 + b2 = c2.

    El álgebra clásica, que se ocupa de resolver ecuaciones, utiliza símbolos en vez de números específicos y operaciones aritméticas para determinar cómo usar dichos símbolos. El álgebra moderna ha evolucionado desde el álgebra clásica al poner más atención en las estructuras matemáticas. Los matemáticos consideran al álgebra moderna como un conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan. Así, en su forma más general, se dice que el álgebra es el idioma de las matemáticas.

23. Alexis Pacheco 25 may 2007 - 09:51 PM

    La geometría: Es una rama de la matemática que estudia idealizaciones del espacio: puntos, rectas, planos, polígonos, poliedros, curvas, superficies, etc.
    Se utiliza para solucionar problemas concretos y es la justificación teórica de muchos instrumentos: compás, teodolito, pantógrafo, etc.

24. samuel abreu ingenieria civil 1-001-d 26 may 2007 - 06:05 PM

    geometria: la geometria elemental es la rama de la matematica que estudia las propiedades intrinsecas de las figuras,es decir,las que no se alteran con el movimiento de las mismas. cuando se estudian figuras figuras contenidas en el plano(o sea de dos dimensiones) se llama geometria plana. si estudia cuerpos geometricos (de tres dimensiones)sellama geometria del espacio. hay otras geometrias que constituyen especialidades dentro del campo de la matematica:geomet6ria analitica, geometria descriptiva, geometria proyectiva, etc.es el usado de la ciencia y, principalmente en la geometria, en la geometria.este metodo consiste en encadenar conocimientos que se suponen verdaderos de manera tal que se obtienen nuevos conocimientos.es decir,obtener nuevas proposiciones como consecuencia logica de otras anteriores.

25. samuel abreu ingenieri civil 1-001-d 26 may 2007 - 06:41 PM

    geometria: no todas las propiedades son consecuencia de otras.hay algunas que se aceptan comociertas por si mismas:son los axiomas y postulados. hay ademas proposiciones que la definen como proposiciones que exponen con claridad y presicion los caracteres de una cosa. una caracteristica de la geometria moderna consiste en evitar la definicion de conceptos primarios que tenian poco o ningun sentido.asi,por ejemplo, las definiciones tan conocidas Euclides:La cual decia "punto es lo que no tiene partes" "linea es una longitud sin anchura", etc, se basa en conceptos (partes,anchura) cuya definicion es mas compleja que lo que se trata de definir.tambien se deduce como ya se ha explicado que el punto no se define.un punto geometrico es imaginado tan pequeño que carece de dimension

26. requena daysi 28 may 2007 - 04:36 PM

    Progresión Aritmetica:

    En matemáticas, una progresión aritmética es una serie de números tales que la diferencia de dos términos sucesivos cualesquiera de la secuencia es una constante, cantidad llamada diferencia de la progresión o simplemente diferencia. Por ejemplo, la sucesión 3, 5, 7, 9, 11,... es una progresión aritmética de constante (o diferencia común) 2.

27. johnmer aguilera 31 may 2007 - 02:05 AM

    LA GEOMETRIA.

    Es una rama de la matemática que estudia idealizaciones del espacio: puntos, rectas, planos, polígonos, poliedros, curvas, superficies, etc.

    Se utiliza para solucionar problemas concretos y es la justificación teórica de muchos instrumentos: compás, teodolito, pantógrafo.

    Una parte importante de la geometría clásica es el estudio de las construcciones con regla y compás.

    También da fundamento teórico a inventos como el sistema de posicionamiento global (en especial cuando se la considera en combinación con el Análisis Matemático y sobre todo con las Ecuaciones diferenciales).

    Es útil en la preparación de diseños (justificación teórica de la Geometría Descriptiva y del Dibujo Técnico), e incluso en la fabricación de artesanías.

    Historia de la Geometría

    La geometría clásica se encargaba de buscar construcciones con regla y compás. Posteriormente, dado que toda construcción es repetición de cinco operaciones básicas sobre unos elementos (rectas y puntos), comenzaron a tratarse como operaciones con símbolos algebraicos, y la barrera entre álgebra y geometría se difuminó hasta llegar al Programa de Erlangen [1], que define la geometría como el estudio los invariantes de un conjunto (como puede ser por ejemplo, pero no necesariamente, el espacio) mediante transformaciones. Esto quiere decir que cada grupo determina sobre un conjunto una serie de propiedades invariantes, y al estudio de cada familia de propiedades invariantes determinadas por cada grupo de transformaciones en cada conjunto es a lo que se dedica la Geometría.
    Actualmente resulta difícil, a veces, establecer una distinción precisa entre la Geometría y el Análisis. En cualquier caso son fundamentales en ella las aportaciones del Álgebra y la Topología.

28. pandares jose 16 jun 2007 - 02:28 AM

    trigonometría

    Materiales Informáticos, Audiovisuales y Manipulables para el Tratamiento de la Diversidad en Matemáticas de la ESO” es una experiencia que, llevada a cabo en el IES “Salavador Dalí”, resultó premiada como proyecto de innovación de la Comunidad de Madrid.

    10 de diciembre de 2003 Imprimir esta noticia
    Enviar a un amigo

    Materiales Informáticos, Audiovisuales y Manipulables para el Tratamiento de la Diversidad en Matemáticas de la ESO es el título de un proyecto que consiste en la creación, experimentación y validación de materiales informáticos y audiovisuales, impresos y manipulables. Pero, sobre todo, de materiales que posibiliten el tratamiento de las distintas situaciones de enseñanza-aprendizaje, de motivación y de construcción del conocimiento del alumnado. Para ello, se intenta diversificar la presentación y las fuentes de información, así como las estrategias de comunicación y los materiales que se utilizan.

    El resultado se plasma en una publicación en soporte impreso e informático, mediante un CD-ROM interactivo. Asimismo, una parte de la publicación se incorpora a la web del Departamento de Matemáticas del IES “Salvador Dalí”.

    La idea que inspira la experiencia es que los alumnos de un mismo grupo puedan trabajar en un mismo contenido matemático partiendo de situaciones de aprendizaje muy diferentes y utilizando materiales diversos.

    Además, en el Proyecto Curricular de Centro –en concreto, en la programación de Matemáticas–, dada la tradición de este IES en el uso de las Nuevas Tecnologías, se hace especial hincapié en la enseñanza con estos medios en dos sentidos: conocimiento y dominio de las NNTT, y utilización de las mismas en cada área y materia como herramienta de aprendizaje.

    Objetivos

    Los objetivos específicos de esta experiencia son:
    —Incorporar materiales manipulables y, sobre todo, materiales informáticos y audiovisuales en el desarrollo ordinario del currículo de la materia.
    —Realizar un catálogo de estos materiales diversos en distintos soportes.
    —Crear nuevos materiales en soporte informático como programas de propósito general tipo Excel, programas específicos de Matemáticas (Cabri, Cabriweb, Calcula, Cónicas, Visual Basic), programas desarrollados por el Departamento (Funges, buscador...) y aplicaciones en HTML.
    —Elaborar fichas de actividades didácticas con los materiales utilizados.
    —Experimentar los materiales en diversos grupos.
    —Evaluar el rendimiento pedagógico de los materiales y su posible generalización a otros centros.
    —Publicar en soporte impreso e informático todo el material de creación, experimentación y evaluación generado.

    Contenidos

    Se pretende abordar todos los contenidos del currículo de Matemáticas de la ESO. Dada la amplitud de material, se establece una prioridad de actuaciones en un doble sentido:
    —Comenzar por los cursos más altos (2º Ciclo) y acabar con los más bajos (1º Ciclo).
    —Comenzar con el bloque más susceptible de un tratamiento diverso por su carácter visual y manipulativo, la Geometría; continuar con Funciones y Aritmética, y finalizar con la Probabilidad y la Estadística.

    A modo de ejemplo, vamos a centrarnos en Geometría, donde los materiales uilizados son:
    —Manipulables: plegado, libro de espejos, tramas, geoplanos y varillas.
    —Audiovisuales: vídeos –serie Más por menos de TVE–; transformaciones geométricas, reflexiones sobre cónicas, arabescos y geometría de la UNED.
    —Informáticos: programa Cabri, Cabriweb y navegadores de Internet.

    En cuanto a los contenidos curriculares tratados en este área, son los siguientes:
    —Triángulos: clasificación y elementos notables.
    —Cuadriláteros: clasificación y propiedades.
    —Poliedros: construcción y propiedades.
    —Regularidades y simetrías en figuras, cuerpos y configuraciones geométricas.
    —Utilidad e importancia de algunas figuras y cuerpos para propósitos concretos: teselar, rodar, minimizar área o perímetro, etc.
    —Teorema de Pitágoras y trigonometría.
    —Movimientos en el plano.
    —Cónicas.

    En cuanto a la metodología, cada material se utiliza en una o varias actividades en grupos de alumnos de un mismo o diferentes cursos.

29. Eduardo Roa 17 jun 2007 - 12:30 AM

    CUADRO DE AREAS Y VOLUMENES
    AREAS
    NOMBRE

    DEFINICION

    FIGURA

    TERMINOS

    FORMULA
    Triángulo

    Es la porción de plano limitada por tres segmentos de recta.

    h=altura
    b=base

    Paralelogramo

    Son los cuadriláteros que tienen sus lados opuestos iguales y paralelos.

    h=altura b=base

    A=b.h
    Cuadrado

    Cuadrilátero de cuatro lados y 4 ángulos iguales.

    l=lado d=diagonal

    Rombo

    Cuadrilátero cuyas dos diagonales se cruzan en ángulo de 90º

    d=diagonal mayor d'=diagonal menor

    Trapecio

    Cuadrilátero que tiene dos de sus lados paralelos y los otros dos no.

    b=base mayor b'=base menor h=altura

    Polígono regular

    Es la porción de plano limitada por segmentos de recta, es regular si todos sus lados y ángulos son iguales.

    a=apotema l=lado n=número de lados

    Círculo

    Es la porción de plano limitada por la circunferencia.

    r=radio

    A=p

30. Eduardo Roa 17 jun 2007 - 12:32 AM

    eduardo roa I017d

    CUADRO DE AREAS Y VOLUMENES
    AREAS
    NOMBRE

    DEFINICION

    FIGURA

    TERMINOS

    FORMULA
    Triángulo

    Es la porción de plano limitada por tres segmentos de recta.

    h=altura
    b=base

    Paralelogramo

    Son los cuadriláteros que tienen sus lados opuestos iguales y paralelos.

    h=altura b=base

    A=b.h
    Cuadrado

    Cuadrilátero de cuatro lados y 4 ángulos iguales.

    l=lado d=diagonal

    Rombo

    Cuadrilátero cuyas dos diagonales se cruzan en ángulo de 90º

    d=diagonal mayor d'=diagonal menor

    Trapecio

    Cuadrilátero que tiene dos de sus lados paralelos y los otros dos no.

    b=base mayor b'=base menor h=altura

    Polígono regular

    Es la porción de plano limitada por segmentos de recta, es regular si todos sus lados y ángulos son iguales.

    a=apotema l=lado n=número de lados

    Círculo

    Es la porción de plano limitada por la circunferencia.

    r=radio

    A=p

31. geLBert SaNchEz b-boy COMPOTA 18 jun 2007 - 12:34 AM

    LA ALGEBRA MATEMATICA..

    El álgebra es la rama de la matemática que estudia estructuras, relaciones y cantidades. Junto a la geometría, el análisis matemático, la combinatoria y la teoría de números, el álgebra es una de las principales ramas de la matemática.

    La palabra «álgebra» deriva del tratado escrito por el matemático persa Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi, titulado Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala (en árabe كتاب الجبر والمقابلة) (que significa "Compendio de cálculo por el método de completado y balanceado"), el cual proporcionaba operaciones simbólicas para el solución sistemática de ecuaciones lineales y cuadráticas. Etimológicamente, la palabra «álgebra» (también nombrado por los árabes Amucabala) جبر (yebr) (al-dejaber), proviene por lo tanto del árabe y significa "reducción", operación de cirugía por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el médico reparador de huesos).

32. yanetzi martinez vega seccion 001 19 jun 2007 - 06:16 PM

    El álgebra lineal es la rama de la matemática que concierne al estudio de vectores, espacios vectoriales, transformaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales. Los espacios vectoriales son un tema central en la matemática moderna; por lo que el álgebra lineal es usada ampliamente en álgebra abstracta y análisis funcional. El álgebra lineal tiene una representación concreta en la geometría analítica, y tiene aplicaciones en el campo de las ciencias naturales y en las ciencias sociales.

    Historia
    La historia del álgebra lineal moderna se remonta a los años de 1843 cuando William Rowan Hamilton (de quien proviene el uso del término vector) creó los cuaterniones; y de 1844 cuando Hermann Grassmann publicó su libro Die lineare Ausdehnungslehre.

    álgebra lineal se ha extendido para considerar espacios de dimensión arbitraria o incluso de dimensión infinita. Un espacio vectorial de dimensión n se dice que es n-dimensional. La mayoría de los resultados encontrados en 2 y 3 dimensiones pueden extenderse al caso n-dimensional. A mucha gente le resulta imposible la visualización mental de los vectores de más de tres dimensiones (o incluso los tridimensionales). Pero los vectores de un espacio n-dimensional pueden ser útiles para representar información: considerados como n-tuplas, es decir, listas ordenadas de n componentes, pueden utilizarse para resumir y manipular información eficientemente. Por ejemplo, en economía, se pueden crear y usar vectores octo-dimensionales u 8-tuplas para representar el Producto Interno Bruto de 8 países diferentes. Se puede simplemente mostrar el PIB en un año en particular, en donde se especifica el orden que se desea, por ejemplo, (Estados Unidos, Reino Unido, Francia, Alemania, España, India, Japón, Australia), utilizando un vector (v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8) en donde el PIB de cada país está en su respectiva posición
    Algunos teoremas útiles
    • Todo espacio lineal tiene una base (Esta afirmación es lógicamente equivalente al Axioma de elección)
    • Una matriz A no nula con n filas y m columnas es no singular (invertible) si existe una matriz B que satisface AB = BA = I donde I es la matriz identidad.
    • Una matriz es invertible si y sólo si su determinante es distinto de cero.
    • Una matriz es invertible si y sólo si la transformación lineal representada por la matriz es un isomorfismo (vea también matriz invertible para otras afirmaciones equivalentes)
    • Una matriz es positiva semidefinida si y sólo si cada uno de sus valores propios son mayores o iguales a cero
    • Una matriz es positiva definida si y sólo si cada uno de sus valores propios son mayores a cero

33. xavier perozo 19 jun 2007 - 11:16 PM

    Combinatoria

    La combinatoria es una rama de la matemática que estudia colecciones finitas de objetos que satisfacen unos criterios especificados, y se ocupa, en particular, del "recuento" de los objetos de dichas colecciones (combinatoria enumerativa) y del problema de determinar si cierto objeto "óptimo" existe (combinatoria extremal). Uno de los más destacados combinatorialistas de los últimos tiempos ha sido Gian-Carlo Rota, cuyas contribuciones han ayudado a formalizar el tema desde la década de 1960. El prolífico matemático Paul Erdős trabajó principalmente en problemas extremales. El estudio de cómo contar objetos es a veces considerado por separado como el campo de la enumeración.

    Un ejemplo de pregunta combinatoria es la siguiente: ¿Cuántas ordenaciones pueden hacerse en un mazo de 52 cartas? Ese número es 52! (o sea, "cincuenta y dos factorial"). Es el producto de todos los números naturales desde 1 al 52. Puede parecer sorprendente lo extremadamente grande que es este número, alrededor de 8,07 × 1067. Es algo más de 8 seguido de 67 ceros. Comparando ese número con otros números enormes, es mayor que el cuadrado del número de Avogadro, 6,02 × 1023, "el número de átomos, moléculas, etc., que hay en un mol" y es del mismo orden magnitud, 1067, que la cantidad de átomos en la Vía Láctea.

    Funciones enumerativas [editar]Contar de cuántas maneras puede formarse cierto patrón es el punto de partida de la combinatoria. Sea S un conjunto de n elementos. Las combinaciones de k elementos de S son subconjuntos de S de k elementos (en los que el orden en que se listan es irrelevante). Las variaciones de k elementos de S son sucesiones de k elementos distintos de S (dos de tales sucesiones son distintas si tienen los mismos elementos pero en distinto orden). Cuando las variaciones son de los n elementos del conjunto, se denominan permutaciones. Las fórmulas que calculan estas cantidades son bien conocidas y ubicuas en la combinatoria.

    De un modo más general, dada una colección infinita de conjuntos finitos {Si}, cuyo índice típicamente recorre los números naturales, la combinatoria enumerativa estudia diversas formas de describir una función enumerativa, f(n), que cuente el número de elementos de Sn para cualquier n. Aunque contar el número de elementos de un conjunto es un problema ubicuo en la matemática, en un problema combinatorio los elementos de Si por lo general tienen una descripción combinatoria simple y poca estructura adicional.

    Las funciones enumerativas más simples son fórmulas cerradas, que se pueden expresar como una composición de funciones elementales, tales como factoraiales, potencias, etc. Como se ha dicho anteriormente, el número de posibles ordenaciones distintas de un mazo de n cartas es

    f(n) = n!.
    Este planteamiento no siempre es satisfactorio (ni práctico) para cualquier problema combinatorio. Por ejemplo, sea f(n) el número de conjuntos distintos formados a partir de los enteros del intervalo [1,n] que no contienen dos enteros consecutivos; así, con n = 4, tendremos {}, {1}, {2}, {3}, {4}, {1,3}, {1,4}, {2,4}, luego f(4) = 8. La función f(n) resulta ser el número de Fibonacci de orden n+2, cuya expresión en una fórmula cerrada es

    ,
    donde φ = (1 + √5) / 2 es la razón áurea. Sin embargo, dado que estamos buscando un número entero, la presencia de √5 en el resultado puede considerarse "antiestética" desde un punto de vista combinatorio. De modo alternativo, f(n) se puede expresar a través de la recurrencia

    f(n) = f(n − 1) + f(n − 2),
    que puede resultar más satisfactoria (desde un punto de vista puramente combinatorio), puesto que muestra más claramente por qué el resultado es el que es.

    Otro método es hallar una fórmula asintótica

    ,
    donde g(n) es una función "familiar", y donde f(n) se acerca a g(n) cuando n tiende a infinito. En ciertos casos, una expresión asintótica puede resultar preferible a una fórmula cerrada terriblemente complicada que no proporcione ninguna información acerca del comportamiento del número de objetos contados. En el ejemplo anterior, una fórmula asintótica sería

    cuando n es muy grande.

    Finalmente, y esto resulta de gran utilidad, f(n) se puede expresar a través de una serie de potencias formal, denominada función generatriz, que puede ser tanto la función generatriz ordinaria

    como la función generatriz exponencial

    .
    Una vez determinada, la función generatriz suele permitir extraer toda las formas anteriores de expresar f(n). Además, las diversas operaciones naturales con funciones generatrices, tales como la adición, multiplicación, derivación, etc., tienen significado combinatorio, y esto permite extender los resultados de un problema combinatorio con el fin de resolver otros.

    Resultados [editar]Se pueden estudiar patrones muy sutiles y probar algunos teoremas sorprendentes sobre ellos. Un ejemplo de tales teoremas se debe a Frank P. Ramsey:

    Supongamos que 6 personas se encuentran en una fiesta. Cada par de personas o bien se conocen previamente, o bien no se conocen. En todo caso, siempre se pueden encontrar 3 de esas 6 personas que o bien se conocen entre sí, o bien ninguna conoce a las otras dos.

    La demostración se procede por reducción al absurdo: supongamos que no hay 3 personas que cumplan lo que afirma el teorema. Consideremos cualquier persona de las 6 que van a la fiesta y llamémosla A. De entre las 5 personas restantes tiene que haber 3 que, o bien conocen a A (y A las conoce a ellas), o bien no la conocen. Sin pérdida de generalidad supondremos que hay 3 personas que conocen a A. Pero entonces, de entre esas 3 personas debe haber al menos 2 que se conozcan entre sí (de lo contrario ya habría 3 personas que no se conocen entre sí. Pero entonces, esas dos personas y A son 3 personas que se conocen entre sí. (Este es un caso especial del teorema de Ramsey).

    Se puede conseguir una demostración alternativa mediante doble recuento: se cuentan el número de tripletas ordenadas de personas (A,B,C), en las que las personas A y B se conocen, pero no B y C. Supongamos que la persona K conoce a k de las otras 5. Entonces es la persona B de exactamente k(5 k) tripletas (A debe ser una de las k personas que conoce y C una de las 5-k que no conoce). Por lo tanto, es la persona B de 0*5=0, 1*4=4 o 2*3=6 tripletas. Como hay 6 personas, y cada una es la persona B de como mucho 6 tripletas, hay como mucho 36 tripletas.

    Considérense ahora 3 personas de las que exactamente 2 de ellas se conocen entre sí. Está claro que podemos formar con ellas dos tripletas distintas: tomando como C la que es desconocida, y poniendo las otras dos en lugar de A y B de las dos formas en que esto puede hacerse. Del mismo modo, si exactamente 2 parejas se conocen entre sí, también se pueden organizar en una tripleta de dos formas distintas: se toma como A la persona que los otros dos conocen, y las otras se colocan como B y C de las dos maneras en que esto es posible. Hay, por lo tanto, como mucho 36/2=18 tripletas en las que exactamente una pareja o dos parejas se conocen entre sí. Como hay 20 tripletes, debe haber como mucho 2 de ellos en los que o bien se conocen todos, o bien todos son desconocidos entre sí.

    La idea de encontrar un orden en configuraciones aleatorias da lugar a la teoría de Ramsey. Esencialmente, esta teoría afirma que cualquier configuración suficientemente grande contendrá al menos un caso de cualquier otro tipo de configuración.

34. norkelys garcés sección I-017D petróleo 20 jun 2007 - 01:43 AM

    Álgebra
    El álgebra es la rama de la matemática que estudia estructuras, relaciones y cantidades. Junto a la geometría, el análisis matemático, la combinatoria y la teoría de números, el álgebra es una de las principales ramas de la matemática.
    La palabra «álgebra» deriva del tratado escrito por el matemático persa Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi, titulado Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala (en árabe كتاب الجبر والمقابلة) (que significa "Compendio de cálculo por el método de completado y balanceado"), el cual proporcionaba operaciones simbólicas para el solución sistemática de ecuaciones lineales y cuadráticas. Etimológicamente, la palabra «álgebra» (también nombrado por los árabes Amucabala) جبر (yebr) (al-dejaber), proviene por lo tanto del árabe y significa "reducción", operación de cirugía por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el médico reparador de huesos).
    Clasificación
    El álgebra dio lugar con el tiempo a desarrollos más complejos, de tal manera que es común dividir hoy en día todo el álgebra en las siguientes categorías:
    • Álgebra elemental, que se restringe al uso de símbolos abstractos para cantidades numéricas y a la resolución de problemas matemáticos elementales eminentemente prácticos por medio de signos.
    • Álgebra abstracta, que se ocupa del estudio en sí mismas de las estructuras algebraicas y sus propiedades. Dentro de esta se distingue.
    o Álgebra lineal, estudia las propiedades especificas de los espacios vectoriales.
    o Álgebra universal, estudia las ideas comunes a todas las estructuras algebraicas.
    o Teoría de números algebraicos, una rama de la teoría de los números en la cual el concepto de número se expande a los números algebraicos los cuales son raíces de los polinomios con coeficientes racionales.
    o Geometría algebraica, combina el Álgebra abstracta, especialmente el Álgebra conmutativa, con la geometría.
    Signos y Símbolos
    En el álgebra se utilizan signos y símbolos -en general utilizados en la teoría de conjuntos- que constituyen ecuaciones, matrices, series, etc.
    Aquí algunos ejemplos:
    Signos y Símbolos
    Expresión Uso
    + A demás de expresar adicion, también es usada para expresar operaciones binarias

    c ó k Expresan Términos constantes

    Primeras letras del alfabeto
    a,b,c,... Se utiliza para expresar cantidades conocidas
    Ultimas letras del alfabeto
    ...,x,y,z Se utiliza para expresar incógnitas
    n Expresa cualquier número (1,2,3,4,...,n)
    Exponentes y subíndices
    a',a'',a''', - a1,a2,a3 Expresar cantidades de la misma especie de diferente magnitud.

35. giovanni aristete 21 jun 2007 - 03:10 AM

    la trigonometria:

    La Trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos. Los babilonios y los egipcios (hace más de 3000 años) fueron los primeros en utilizar los ángulos de un triángulo y las razones trigonométricas para efectuar medidas en agricultura y para la construcción de pirámides. También se desarrollo a partir de los primeros esfuerzos hechos para avanzar en el estudio de la astronomía mediante la predicción de las rutas y posiciones de los cuerpos celestes y para mejorar la exactitud en la navegación y en el calculo del tiempo y los calendarios.

    El estudio de la trigonometría pasó después a Grecia, en donde se destaca el matemático y astrónomo Griego Hiparco, por haber sido uno de los principales desarrolladores de la Trigonometría. Las tablas de “cuerdas” que construyo fueron las precursoras de las tablas de las funciones trigonométricas de la actualidad.

    Desde Grecia, la trigonometría pasó a la India y Arabia donde era utilizada en la Astronomía. Y desde Arabia se difundió por Europa, donde finalmente se separa de la Astronomía para convertirse en una rama independiente que hace parte de la matemática.

    Es así, como en este trabajo, se expondrá la historia y desarrollo de la trigonometría y de acuerdo a esto, fechas, épocas y principales precursores o personajes que lideraron el proceso o dieron los pasos fundamentales para el posterior desarrollo de esta importante rama de las matemáticas. Junto con esto, una biografía de cada uno de los exponentes y una línea del tiempo con personajes y descubrimientos para una mayor comprensión.

    HISTORIA DE LA TRIGONOMETRÍA

    La historia de la trigonometría comienza con los Babilonios y los Egipcios. Estos últimos establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, en los tiempos de la Grecia clásica, en el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de Nicea construyó una tabla de cuerdas para resolver triángulos. Comenzó con un ángulo de 71° y yendo hasta 180° con incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. No se sabe el valor que Hiparco utilizó para r.

    300 años después, el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico (base 60) de los babilonios.

    Durante muchos siglos, la trigonometría de Tolomeo fue la introducción básica para los astrónomos. El libro de astronomía el Almagesto, escrito por él, también tenía una tabla de cuerdas junto con la explicación de su método para compilarla, y a lo largo del libro dio ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos. El teorema de Menelao utilizado para resolver triángulos esféricos fue autoría de Tolomeo.

    Al mismo tiempo, los astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta función seno, era la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa dada. Los matemáticos indios utilizaron diversos valores para ésta en sus tablas.

    A finales del siglo VIII los astrónomos Árabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones. También descubrieron y demostraron teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Los matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, y esto dio lugar a los valores modernos de las funciones trigonométricas

    El occidente latino se familiarizó con la trigonometría Árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano.

    A principios del siglo XVII, el matemático Jhon Napier inventó los logaritmos y gracias a esto los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje.

    A mediados del siglo XVII Isaac Newton inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.

    Por último, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler demostró que las propiedades de la trigonometría eran producto de la aritmética de los números complejos y además definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos.

    Quién era Hiparco de Nicea

36. ANIBAL PAZ ._. 21 jun 2007 - 04:13 AM

    La lógica matemática es un campo de las matemáticas que estudia los sistemas formales en relación con el modo en el que codifican conceptos intuitivos de objetos matemáticos como conjuntos, números, demostraciones y computación.
    La lógica matemática suele dividirse en cuatro subcampos: teoría de modelos, teoría de la demostración, teoría de conjuntos y teoría de la recursión. La investigación en lógica matemática ha jugado un papel fundamental en el estudio de los fundamentos de las matemáticas.
    La lógica matemática fue también llamada lógica simbólica, en oposición a la lógica filosófica, y metamatemáticas. El primer término todavía se utiliza como sinónimo suyo, pero el segundo se refiere ahora a ciertos aspectos de la teoría de la demostración.
    La lógica matemática no es la "lógica de las matemáticas" sino la "matemática de la lógica". Incluye aquellas partes de la lógica que pueden ser modeladas y estudiadas matemáticamente.
    Lógica Matemática fue el nombre dado por Giuseppe Peano para esta disciplina. En esencia, es la lógica de Aristóteles, pero desde el punto de vista de una nueva notación, más abstracta, tomada del álgebra.
    Previamente ya se hicieron algunos intentos de tratar las operaciones lógicas formales de una manera simbólica por parte de algunos filósofos matemáticos como Leibniz y Lambert, pero su labor permaneció desconocida y aislada.
    Fueron George Boole y Augustus De Morgan, a mediados del siglo XIX, quienes primero presentaron un sistema matemático para modelar operaciones lógicas. La lógica tradicional aristotélica fue reformada y completada, obteniendo un instrumento apropiado para investigar sobre los fundamentos de la matemática.
    El tradicional desarrollo de la lógica enfatizaba su centro de interés en la forma de argumentar, mientras que la actual lógica matemática lo centra en un estudio combinatorio de los contenidos. Esto se aplica tanto a un nivel sintáctico (por ejemplo, el envío de una cadena de símbolos perteneciente a un lenguaje formal a un programa compilador que lo convierte en una secuencia de instrucciones ejecutables por una máquina), como a un nivel semántico, construyendo modelos apropiados (teoría de modelos).
    La Mathematics Subject Classification divide la lógica matemática en las siguientes áreas:
    • Filosófica y crítica
    • Lógica general (que incluye campos como la lógica modal y la lógica borrosa)
    • Teoría de modelos
    • Teoría de la computabilidad
    • Teoría de conjuntos
    • Teoría de la demostración y matemática constructiva
    • Lógica algebraica
    • Modelos no-estándar
    En algunos casos hay conjunción de intereses con la Informática teórica, pues muchos pioneros de la informática, como Alan Turing, fueron matemáticos y lógicos. Así, el estudio de la semántica de los lenguajes de programación procede de la teoría de modelos, así como también la verificación de programas, y el caso particular de la técnica del model checking. También el isomorfismo de Curry-Howard entre pruebas y programas se corresponde con la teoría de pruebas, donde la lógica intuicionista y la lógica lineal son especialmente significativas. Algunos sistemas lógicos como el cálculo lambda, y la lógica combinatoria entre otras han devenido, incluso, auténticos lenguajes de programación, creando nuevos paradigmas como son la programación funcional y la programación lógica.
    La lógica de predicados es un lenguaje formal donde las sentencias bien formadas son producidas por las reglas enunciadas a continuación.
    Lenguajes y estructuras de primer orden
    Un lenguaje de primer orden' es una colección de distintos símbolos clasificados como sigue:
    1. El símbolo de igualdad' ; las conectivas , ; el cuantificador universal y el paréntesis , .
    2. Un conjunto contable de símbolos de variable .
    3. Un conjunto de símbolos de constante .
    4. Un conjunto de símbolos de función .
    5. Un conjunto de símbolos de relación .
    Así, para especificar un orden, generalmente sólo hace falta especificar la colección de símbolos constantes, símbolos de función y símbolos relacionales, dado que el primer conjunto de símbolos es estándar. Los paréntesis tienen como único propósito de agrupar símbolos y no forman parte de la estructura de las funciones y relaciones.
    Los símbolos carecen de significado por sí solos. Sin embargo, a este lenguaje podemos dotarlo de una semántica apropiada.
    Una -estructura sobre el lenguaje , es una tupla consistente en un conjunto no vacío , el universo del discurso, junto a:
    1. Para cada símbolo constante de , tenemos un elemento .
    2. Para cada símbolo de function -aria de , una function -aria .
    3. Para cada símbolo de relación -aria de , una relación -aria sobre , esto es, un subconjunto .
    A menudo, usaremos la palabra modelo para denotar esta estructura.

37. Johandry Aguilera Seccion:I-017-D 21 jun 2007 - 04:42 AM

    El Análisis numérico es una rama de las matemáticas cuyos límites no son del todo precisos. De una forma rigurosa, se puede definir como la disciplina ocupada de describir, analizar y crear algoritmos numéricos que nos permitan resolver problemas matemáticos, en los que estén involucradas cantidades numéricas, con una precisión determinada.
    En el contexto del cálculo numérico, un algoritmo es un procedimiento que nos puede llevar a una solución aproximada de un problema mediante un número finito de pasos que pueden ejecutarse de manera lógica. En algunos casos, se les da el nombre de métodos constructivos a estos algoritmos numéricos.
    El análisis numérico cobra especial importancia con la llegada de los ordenadores. Los ordenadores son útiles para cálculos matemáticos extremadamente complejos, pero en última instancia operan con números binarios y operaciones matemáticas simples.
    Desde este punto de vista, el análisis numérico proporcionará todo el andamiaje necesario para llevar a cabo todos aquellos procedimientos matemáticos susceptibles de expresarse algorítmicamente, basándose en algoritmos que permitan su simulación o cálculo en procesos más sencillos empleando números.
    Conceptos generales
    • Algoritmo (métodos constructivos)
    • Análisis de errores
    • Estabilidad numérica
    • Estabilidad de los algoritmos
    • Representación finita e infinita de números
    A partir de aquí, aparece un concepto adicional, el de error. Este concepto aparece como consecuencia de la naturaleza finita de los ordenadores que solo pueden operar con números representados de forma finita.
    Definido el error, junto con el error admisible, pasamos al concepto de estabilidad de los algoritmos. Muchas de las operaciones matemáticas pueden llevarse adelante a través de la generación de una serie de números que a su vez alimentan de nuevo el algoritmo (feedback). Esto proporciona un poder de cálculo y refinamiento importantísimo a la máquina que a medida que va completando un ciclo va llegando a la solución. El problema ocurre en determinar hasta cuándo deberá continuar con el ciclo, o si nos estamos alejando de la solución del problema.
    Finalmente, otro concepto paralelo al análisis numérico es el de la representación, tanto de los números como de otros conceptos matemáticos como los vectores, polinomios, etc... Por ejemplo, para la representación en ordenadores de números reales, se emplea el concepto de coma flotante que dista mucho del empleado por la matemática convencional.
    Aplicaciones
    En general, estos métodos se aplican cuando se necesita un valor numérico como solución a un problema matemático, y los procedimientos "exactos" o "analíticos" (manipulaciones algebraicas, teoría de ecuaciones diferenciales, métodos de integración, etc...) son incapaces de dar una respuesta. Debido a ello, son procedimientos de uso frecuente por físicos e ingenieros, y cuyo desarrollo se ha visto favorecido por la necesidad de éstos de obtener soluciones, aunque la precisión no sea completa. Debe recordarse que la física experimental, por ejemplo, nunca arroja valores exactos sino intervalos que engloban la gran mayoría de resultados experimentales obtenidos, ya que no es habitual que dos medidas del mismo fenómeno arrojen valores exactamente iguales.

    Otro motivo que ha propiciado el auge del análisis numérico ha sido el desarrollo de los ordenadores. El aumento brutal de la potencia de cálculo ha convertido en posibles y en eficientes a algoritmos poco dados a su realización a mano.
    Problemas
    Clasificación atendiendo a su dimensión
    Los problemas de esta disciplina se pueden dividir en dos grupos fundamentales:
    • Problemas de dimensión finita: aquellos cuya respuesta son un conjunto finito de números, como las ecuaciones algebraicas, los determinantes, los problemas de valores propios, etc...klk

    • Problemas de dimensión infinita: problemas en cuya solución o planteamiento intervienen elementos descritos por una cantidad infinita de números, como integración y derivación numéricas, cálculo de ecuaciones diferenciales, interpolación, etc...
    Clasificación atendiendo a su naturaleza o motivación
    Asimismo, existe una subclasificación de estos dos grandes apartados en tres categorías de problemas, atendiendo a su naturaleza o motivación para el empleo del cálculo numérico:
    • 1) Problemas de tal complejidad que no poseen solución analítica.
    • 2) Problemas en los cuales existe una solución analítica, pero ésta, por complejidad u otros motivos, no puede explotarse de forma sencilla en la práctica.
    • 3) Problemas para los cuales existen métodos sencillos pero que, para elementos que se emplean en la práctica, requieren una cantidad de cálculos excesiva; mayor que la necesaria para un método numérico.
    Métodos del Análisis numérico
    • Método de Monte Carlo
    • Resolución numérica de ecuaciones no lineales
    • Resolución numérica de sistemas de ecuaciones lineales
    • Resolución numérica de sistemas de ecuaciones no lineales
    • Interpolación
    • Interpolación polinómica de Lagrange
    • Interpolación polinómica de Hermite
    • Interpolación trigonométrica
    • Interpolación mediante funciones lineales a trozos
    • Derivación numérica
    • Integración numérica
    • Problemas de valores propios
    • Resolución numérica de ecuaciones diferenciales
    • Metodo de Bisección o de la bisectriz
    • Metodo de iteración de punto fijo
    • Metodo de Newton Raphson
    • Metodo de la secante
    • Metodo de la posición falsa
    • Metodo de Steffensen
    • Metodo de Neville
    Otros temas de análisis numérico
    • Redondeo
    • Truncamiento
    • Sistema de numeración

38. jOhAnDrY aGuilErA 21 jun 2007 - 04:51 AM

    Análisis numérico
    El análisis numérico es la rama de la matemática que se encarga de diseñar algoritmos para, a través de números y reglas matemáticas simples simular procesos matemáticos más complejos aplicados a procesos del mundo real.
    El Análisis numérico es una rama de las matemáticas cuyos límites no son del todo precisos. De una forma rigurosa, se puede definir como la disciplina ocupada de describir, analizar y crear algoritmos numéricos que nos permitan resolver problemas matemáticos, en los que estén involucradas cantidades numéricas, con una precisión determinada.
    En el contexto del cálculo numérico, un algoritmo es un procedimiento que nos puede llevar a una solución aproximada de un problema mediante un número finito de pasos que pueden ejecutarse de manera lógica. En algunos casos, se les da el nombre de métodos constructivos a estos algoritmos numéricos.
    El análisis numérico cobra especial importancia con la llegada de los ordenadores. Los ordenadores son útiles para cálculos matemáticos extremadamente complejos, pero en última instancia operan con números binarios y operaciones matemáticas simples.
    Desde este punto de vista, el análisis numérico proporcionará todo el andamiaje necesario para llevar a cabo todos aquellos procedimientos matemáticos susceptibles de expresarse algorítmicamente, basándose en algoritmos que permitan su simulación o cálculo en procesos más sencillos empleando números.
    Conceptos generales
    • Algoritmo (métodos constructivos)
    • Análisis de errores
    • Estabilidad numérica
    • Estabilidad de los algoritmos
    • Representación finita e infinita de números
    A partir de aquí, aparece un concepto adicional, el de error. Este concepto aparece como consecuencia de la naturaleza finita de los ordenadores que solo pueden operar con números representados de forma finita.
    Definido el error, junto con el error admisible, pasamos al concepto de estabilidad de los algoritmos. Muchas de las operaciones matemáticas pueden llevarse adelante a través de la generación de una serie de números que a su vez alimentan de nuevo el algoritmo (feedback). Esto proporciona un poder de cálculo y refinamiento importantísimo a la máquina que a medida que va completando un ciclo va llegando a la solución. El problema ocurre en determinar hasta cuándo deberá continuar con el ciclo, o si nos estamos alejando de la solución del problema.
    Finalmente, otro concepto paralelo al análisis numérico es el de la representación, tanto de los números como de otros conceptos matemáticos como los vectores, polinomios, etc... Por ejemplo, para la representación en ordenadores de números reales, se emplea el concepto de coma flotante que dista mucho del empleado por la matemática convencional.
    Aplicaciones
    En general, estos métodos se aplican cuando se necesita un valor numérico como solución a un problema matemático, y los procedimientos "exactos" o "analíticos" (manipulaciones algebraicas, teoría de ecuaciones diferenciales, métodos de integración, etc...) son incapaces de dar una respuesta. Debido a ello, son procedimientos de uso frecuente por físicos e ingenieros, y cuyo desarrollo se ha visto favorecido por la necesidad de éstos de obtener soluciones, aunque la precisión no sea completa. Debe recordarse que la física experimental, por ejemplo, nunca arroja valores exactos sino intervalos que engloban la gran mayoría de resultados experimentales obtenidos, ya que no es habitual que dos medidas del mismo fenómeno arrojen valores exactamente iguales.

    Otro motivo que ha propiciado el auge del análisis numérico ha sido el desarrollo de los ordenadores. El aumento brutal de la potencia de cálculo ha convertido en posibles y en eficientes a algoritmos poco dados a su realización a mano.
    Problemas
    Clasificación atendiendo a su dimensión
    Los problemas de esta disciplina se pueden dividir en dos grupos fundamentales:
    • Problemas de dimensión finita: aquellos cuya respuesta son un conjunto finito de números, como las ecuaciones algebraicas, los determinantes, los problemas de valores propios, etc...klk

    • Problemas de dimensión infinita: problemas en cuya solución o planteamiento intervienen elementos descritos por una cantidad infinita de números, como integración y derivación numéricas, cálculo de ecuaciones diferenciales, interpolación, etc...
    Clasificación atendiendo a su naturaleza o motivación
    Asimismo, existe una subclasificación de estos dos grandes apartados en tres categorías de problemas, atendiendo a su naturaleza o motivación para el empleo del cálculo numérico:
    • 1) Problemas de tal complejidad que no poseen solución analítica.
    • 2) Problemas en los cuales existe una solución analítica, pero ésta, por complejidad u otros motivos, no puede explotarse de forma sencilla en la práctica.
    • 3) Problemas para los cuales existen métodos sencillos pero que, para elementos que se emplean en la práctica, requieren una cantidad de cálculos excesiva; mayor que la necesaria para un método numérico.
    Métodos del Análisis numérico
    • Método de Monte Carlo
    • Resolución numérica de ecuaciones no lineales
    • Resolución numérica de sistemas de ecuaciones lineales
    • Resolución numérica de sistemas de ecuaciones no lineales
    • Interpolación
    • Interpolación polinómica de Lagrange
    • Interpolación polinómica de Hermite
    • Interpolación trigonométrica
    • Interpolación mediante funciones lineales a trozos
    • Derivación numérica
    • Integración numérica
    • Problemas de valores propios
    • Resolución numérica de ecuaciones diferenciales
    • Metodo de Bisección o de la bisectriz
    • Metodo de iteración de punto fijo
    • Metodo de Newton Raphson
    • Metodo de la secante
    • Metodo de la posición falsa
    • Metodo de Steffensen
    • Metodo de Neville
    Otros temas de análisis numérico
    • Redondeo
    • Truncamiento
    • Sistema de numeración
    • Error de aproximación, error absoluto y error relativo
    • Orden de convergencia
    Algoritmo
    Un algoritmo (del latín, dixit algorithmus y éste del matemático persa al-Jwarizmi) es un conjunto ordenado y finito de operaciones que permite hallar la solución de un problema. Los algoritmos son el objeto de estudio de la algoritmia y sirven para ejecutar una tarea y resolver problemas matemáticos; estos transforman una entrada en una salida ("efecto caja negra"). Su definición queda formalizada por la Máquina de Turing.
    Un algoritmo es un sistema por el cual se llega a una o varias soluciones, teniendo en cuenta que debe ser definido, finito y eficiente. Por eficiente se entiende que cada paso a seguir tiene un orden; finito implica que tiene un determinado número de pasos, o sea, que tiene un fin; y definido, que si se sigue el mismo proceso más de una vez se llega siempre al mismo resultado.
    El término "algoritmo" no está exclusivamente relacionado con la matemática, las ciencias de la computación o la informática. En la vida cotidiana se emplean algoritmos en multitud de ocasiones para resolver diversos problemas. Algunos ejemplos son el uso de una lavadora (se siguen las instrucciones), pero no la preparación de una comida (porque no están perfectamente definidos los pasos) o el mismo lenguaje humano que "transforma" pensamientos en sonidos y hace que otro humano pueda entender. También existen ejemplos de índole matemática, como el algoritmo de la división para calcular el cociente de dos números, el algoritmo de Euclides para calcular el máximo común divisor de dos enteros positivos, o el método de Gauss para resolver Sistema lineal de ecuaciones.
    Características de los algoritmos
    El científico de computación Donald Knuth, ofreció una lista de cinco propiedades que son ampliamente aceptadas como requisitos para un algoritmo:
    1. Carácter finito. "Un algoritmo siempre debe terminar después de un número finito de pasos".
    2. Precisión. "Cada paso de un algoritmo debe estar precisamente definido; las operaciones a llevar a cabo deben ser especificadas de manera rigurosa y no ambigua para cada caso".
    3. Entrada. "Un algoritmo tiene cero o más entradas: cantidades que le son dadas antes de que el algoritmo comience, o dinamicamente mientras el algoritmo corre. Estas entradas son tomadas de conjuntos específicos de objetos".
    4. Salida. "Un algoritmo tiene una o más salidas: cantidades las cuales tienen una relación específica con las entradas".
    5. Eficacia. "También se espera que un algoritmo sea eficaz, en el sentido de que todas las operaciones a realizar en un algoritmo deben ser suficientemente básicas como para que en principio puedan ser hechas de manera exacta y en un tiempo finito por un hombre usando lápiz y papel".
    Knuth admite que, aunque su descripción pueda ser intuitivamente clara, carece de rigor formal, puesto que no es exactamente claro qué significa "precisamente definido", "de manera rigurosa y no ambigua", o "suficientemente básicas", y así sucesivamente.
    Medios de expresión de un algoritmo
    Los algoritmos pueden ser expresados de muchas maneras incluyendo al lenguaje natural, pseudocódigo, diagramas de flujo y lenguajes de programación. Las descripciones en lenguaje natural tienden a ser ambiguas y extensas. El usar pseudocódigo y diagramas de flujo evita muchas ambigüedades del lenguaje natural. Dichas expresiones son formas más estructuradas para representar algoritmos, no obstante, se mantienen independientes de un lenguaje de programación específico.
    La descripción de un algoritmo usualmente se hace en tres niveles:
    1. Descripción de alto nivel. Se establece el problema, se selecciona un modelo matemático y se explica el algoritmo de manera verbal, posiblemente con ilustraciones y omitiendo detalles.
    2. Descripción formal. Se usa pseudocódigo para describir la secuencia de pasos que encuentran la solución.
    3. Implementación. Se muestra el algoritmo expresado en un lenguaje de programación específico o algún objeto capaz de llevar a cabo instrucciones.
    También es posible incluir un teorema que demuestre que el algoritmo es correcto, un análisis de complejidad o ambos.
    Análisis de algoritmos
    Artículo principal: Análisis de algoritmos
    Como medida de la eficiencia de un algoritmo, se suelen estudiar los recursos (memoria y tiempo) que consume el algoritmo. El análisis de algoritmos se ha desarrollado para obtener valores que de alguna forma indiquen (o especifiquen) la evolución del gasto de tiempo y memoria en función del tamaño de los valores de entrada.
    El análisis y estudio de los algoritmos es una disciplina de las ciencias de la computación y, en la mayoría de los casos, su estudio es completamente abstracto sin usar ningún tipo de lenguaje de programación ni cualquier otra implementación; por eso, en ese sentido, comparte las características de las disciplinas matemáticas. Así, el análisis de los algoritmos se centra en los principios básicos del algoritmo, no en los de la implementación particular. Una forma de plasmar (o algunas veces "codificar") un algoritmo es escribirlo en pseudocódigo o utilizar un lenguaje muy simple tal como Lexico, cuyos códigos pueden estar en el idioma del programador.
    Algunos escritores restringen la definición de algoritmo a procedimientos que deben acabar en algún momento, mientras que otros consideran procedimientos que podrían ejecutarse eternamente sin pararse, suponiendo el caso en el que existiera algún dispositivo físico que fuera capaz de funcionar eternamente. En este último caso, la finalización con éxito del algoritmo no se podría definir como la terminación de éste con una salida satisfactoria, sino que el éxito estaría definido en función de las secuencias de salidas dadas durante un periodo de vida de la ejecución del algoritmo. Por ejemplo, un algoritmo que verifica que hay más ceros que unos en una secuencia binaria infinita debe ejecutarse siempre para que pueda devolver un valor útil. Si se implementa correctamente, el valor devuelto por el algoritmo será válido, hasta que evalúe el siguiente dígito binario. De esta forma, mientras evalúa la siguiente secuencia podrán leerse dos tipos de señales: una señal positiva (en el caso de que el número de ceros es mayor que el de unos) y una negativa en caso contrario. Finalmente, la salida de este algoritmo se define como la devolución de valores exclusivamente positivos si hay más ceros que unos en la secuencia y, en cualquier otro caso, devolverá una mezcla de señales positivas y negativas.
    Ejemplo de algoritmo
    El problema consiste en encontrar el máximo de un conjunto de números. Para un ejemplo más complejo véase Algoritmo de Euclides.
    Descripción de alto nivel
    Dado un conjunto finito C de números, se tiene el problema de encontrar el número más grande. Sin pérdida de generalidad se puede asumir que dicho conjunto no es vacío y que sus elementos están numerados como .
    Es decir, dado un conjunto se pide encontrar m tal que para todo elemento x que pertenece al conjunto C.
    Para encontrar el elemento máximo, se asume que el primer elemento (c0) es el máximo; luego, se recorre el conjunto y se compara cada valor con el valor del máximo número encontrado hasta ese momento. En el caso que un elemento sea mayor que el máximo, se asigna su valor al máximo. Cuando se termina de recorrer la lista, el máximo número que se ha encontrado es el máximo de todo el conjunto.
    Descripción formal
    El algoritmo escrito de una manera más formal, esto es, en pseudocódigo tendría el siguiente aspecto:
    función
    //ENTRADAS: Un conjunto no vacío de numeros C//
    //SALIDAS: El mayor número de C//
    //n = | C | es el número de elementos de C//

    para hasta hacer
    si entonces

    devolver

    Sobre la notación:
    • " " representa la asignación entre dos objetos. Por ejemplo, significa que el objeto m cambia su valor por el de x
    • "devolver" termina el algoritmo y devuelve el valor a su derecha (en este caso, el maximo de C)
    Implementación
    En lenguaje Visual Basic 8 (2005):
    Public Function max(C As Integer()) As Integer
    Dim n As Integer = C.GetLength(0)
    Dim m As Integer = C(0)
    For i As Integer = 1 To n
    If C(i) > m Then
    m = C(i)
    End If
    Next
    Return m
    End Function
    Análisis
    El algoritmo anterior tiene un orden de eficiencia en tiempo de O(n), en la notación O mayúscula, siendo n el tamaño de la entrada, más concretamente, en este caso, el número de elementos de C. Además, como el algoritmo necesita recordar un único valor (el máximo) requiere un espacio adicional de O(1) (hay que tener en cuenta que el tamaño de las entradas no se considera como memoria usada por el algoritmo).
    Historia
    La palabra algoritmo proviene del nombre del matemático llamado Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi que vivió entre los siglos VIII y IX. Su trabajo consistió en preservar y difundir el conocimiento de la antigua Grecia y de la India. Sus libros eran de fácil comprensión, de ahí que su principal logro no fuera el de crear nuevos teoremas o corrientes de pensamiento, sino el de simplificar la matemática a punto tal que pudieran ser comprendidas y aplicadas por un mayor número de personas. Cabe destacar cómo señaló las virtudes del sistema decimal indio (en contra de los sistemas tradicionales árabes) y cómo explicó que, mediante una especificación clara y concisa de cómo calcular sistemáticamente, se podrían definir algoritmos que fueran usados en dispositivos mecánicos en vez de las manos (por ejemplo, ábacos). También estudió la manera de reducir las operaciones que formaban el cálculo. Es por esto que aún no siendo el creador del primer algoritmo, el concepto lleva aunque no su nombre, sí su pseudónimo.
    Así, de la palabra algorismo, que originalmente hacía referencia a las reglas de uso de la aritmética utilizando dígitos árabes, se evolucionó a la palabra latina, derivación de al-Khwarizmi, algobarismus, que más tarde mutaría a algoritmo en el siglo XVIII. La palabra ha cambiado de forma que en su definición se incluye a todos los procedimientos finitos para resolver problemas.
    Ya en el siglo XIX, se produjo el primer algoritmo escrito para un computador. La autora fue Ada Byron, en cuyos escritos se detallaban la máquina analítica en 1842. Por ello que es considerada por muchos como la primera programadora aunque, desde Charles Babbage, nadie completó su máquina, por lo que el algoritmo nunca se implementó.
    La falta de rigor matemático en la definición de "procedimiento bien definido" para los algoritmos trajo algunas dificultades a los matemáticos y lógicos del siglo XIX y comienzos de XX. Este problema fue en gran parte resuelto con la descripción de la máquina de Turing, un modelo abstracto de computadora formulado por Alan Turing, y la demostración de que cualquier método anticipado por otros matemáticos que pueda encontrarse para describir "procedimientos bien definidos" puede ser emulado en una máquina de Turing (una afirmación conocida como "tesis de Church-Turing").
    En la actualidad, el criterio formal para definir un algoritmo es que se trata de un proceso que puede implementarse en una máquina de Turing completamente especificada, o en alguno de los formalismos equivalentes. El interés original de Turing era el problema de la detención: decidir cuándo un algoritmo describe un procedimiento de terminación. En términos prácticos importa más la teoría de la complejidad computacional, que incluye los problemas llamados NP-completos, es decir aquellos sobre los que generalmente se presume que requerirán tiempo más que polinómico para cualquier algoritmo (determinístico). NP denota la clase de los problemas de decisión que pueden ser resueltos en tiempo polinómico por una máquina de Turing no determinística.
    Técnicas de diseño de algoritmos
    • Algoritmos voraces: seleccionan los elementos más prometedores del conjunto de candidatos hasta encontrar una solución. En la mayoría de los casos la solución no es óptima.
    • Algoritmos paralelos: permiten la división de un problema en subproblemas de forma que se puedan ejecutar de forma simultánea en varios procesadores.
    • Algoritmos probabilísticos: algunos de los pasos de este tipo de algoritmos están en función de valores pseudoaleatorios.
    • Algoritmos determinísticos: sus pasos están perfectamente definidos y aportan una solución exacta.
    • Algoritmos no determinísticos
    • Divide y vencerás: dividen el problema en subconjuntos disjuntos obteniendo una solución de cada uno de ellos para después unirlas, logrando así la solución al problema completo.
    • Metaheurísticas: encuentran soluciones aproximadas (no óptimas) a problemas basándose en un conocimiento anterior (a veces llamado experiencia) de los mismos.
    • Programación dinámica: intenta resolver problemas disminuyendo su coste computacional aumentando el coste espacial.
    • Ramificación y acotación: se basa en la construcción de las soluciones al problema mediante un árbol implícito que se recorre de forma controlada encontrando las mejores soluciones.
    • Vuelta Atrás: se construye el espacio de soluciones del problema en un árbol que se examina completamente, almacenando las soluciones menos costosas.

39. Quiryat Aparicio I017D 21 jun 2007 - 03:00 PM

    La combinatoria

    La combinatoria (no confundir con combinación) tiene por fin estudiar las distintas agrupaciones de los objetos, prescindiendo de la naturaleza de los mismos pero no del orden. Estudiaremos como se combinan los objetos, cálculo que nos determinará la cantidad de grupos que se podrán formar con los datos dados. Por lo tanto para distinguir entre sí los elementos de cada conjunto considerado, los designaremos con letras o con otra notación que evite confundir unos con otros.
    Antes de comenzar con esto veamos una función importante en matemática:
    Función factorial
    Se denomina función factorial y se la designa como “!” a una función f : N0 N definida por:
    f(0) = 1
    f(1) = 1
    f(n +1) = (n +1) f(n)
    Simbólicamente , para indicar f(n) escribimos simplemente n! y se lee "n factorial"
    0! = 1
    1! = 1
    (n + 1)! = (n + 1) n!
    La función factorial se calcula como el producto de todos los números (en forma decreciente) desde ese número hasta el uno. Así tenemos que:
    5! = 5.4.3.2.1 entonces 5! = 120
    10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 entonces 10! = 3628800
    El factorial de un número se puede también calcular como ese número por el factorial del número anterior (n + 1)! = (n + 1) . n! .
    Así tendremos: 7! = 7. 6!
    Retomemos de nuevo el cálculo combinatorio. Supondremos que los elementos que intervienen no se repiten, constituyendo esta suposición el estudio de la combinatoria simple. Si bien los problemas de la combinatoria son infinitos, nos ocuparemos de los tres fundamentales: a) Variaciones b) Permutaciones c) Combinaciones.
    a) Variaciones.
    Variaciones sin Repetición:
    Supongamos que disponemos de tres casillas y de cuatro letras a, b, c, d y que nos plantean el siguiente problema: ¿de cuántas maneras distintas podemos llenar las casillas con dichas letras si no se permite repetir las mismas y todas las casillas deben quedar llenas?
    En el espacio que queda indica todas las posibilidades que hay.
    Definición: Dado un conjunto finito de “m” elementos, agrupados de a “n” elementos, llamamos variación simple a todo sub – conjunto ordenado formado por “n” objetos cualesquiera (n m) elegidos entre ellos , conviniendo en considerar como distintas dos variaciones cuando: difieren en algún elemento ó si tienen los mismos elementos entonces están en distinto orden.
    Esto significa que para las variaciones el grupo “a, b, c” y el grupo “a, c, b” son distintos ya que tienen los mismos elementos pero están en distinto orden.
    La fórmula que permite calcular las variaciones de “m” elementos agrupados de a “n” elementos es:
    Ejemplo: se tienen tres números los que se agrupan de a dos ¿cuántas variaciones podremos tener?.
    Supongamos que tenemos 1, 2, 3.
    1 2 2 1 3 1
    1 3 2 3 3 2
    Tenemos:
    Nótese que no se repite el mismo número dos veces, de lo contrario la cantidad de variaciones sería mucho mayor.
    a`)Variaciones con Repetición
    Sencillamente, si hacemos variaciones de “m” elementos agrupados de a “n” elementos, tendremos m n cantidad de posibles agrupaciones. V = m n.
    En el ejemplo anterior, deberíamos agregar 11 , 22 y 33 con lo que la cuenta sumaría nueve variaciones posibles, o sea, 32.
    b) Permutación Simple.
    Definición: Dado un conjunto finito de “m” elementos, llamamos permutación simple a todo conjunto ordenado formado con los “m” objetos. Obviamente como todos los grupos tienen los “m” elementos la única posibilidad que existe para que dos grupos sean distintos es que tengan los elementos en distinto orden. Las permutaciones pueden ser definidas también como las variaciones de “m” elementos tomados de a “m” ( V m,m )
    La formula que permite calcular las permutaciones es: P m = m!
    Tomando el ejemplo de los tres números: 3! = 3 . 2 . 1 = 6
    1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1
    c) Combinación
    Definición: Dado un conjunto finito de “m” elementos, agrupados de a “n” elementos, llamamos combinación simple a todo sub – conjunto ordenado formado por “n” objetos cualesquiera (n m) elegidos entre ellos , conviniendo en considerar como distintas dos combinaciones cuando: difieren en algún elemento.
    Esto significa que para las combinaciones el grupo “a, b, c” y el grupo “a, c, b” son iguales ya que tienen los mismos elementos.
    La fórmula que permite calcular las combinaciones de “m” elementos agrupados de a “n” elementos es:
    En este caso el ejemplo de las combinaciones lo importante es el número, no como se ordene. 1 2 es lo mismo que 2 1 (lo importante de la combinación es el 1 y el 2, no es orden en que aparecen).
    Si combinamos tres números de a dos tendremos

40. Quiryat Aparicio 21 jun 2007 - 03:03 PM

    GEOMETRÍA NO EUCLIDIANA:
    Los conceptos primitivos geométricos (punto, recta, plano) han surgido a partir de la necesidad de medir distancias entre puntos o localidades, superficies y volúmenes de objetos.
    En civilizaciones antiguas como la de Egipto, Asiria, India, etc. ya se conocían las principales figuras geométricas y la noción de ángulo. Pero fue en Grecia (Siglo VI y III a.C. principalmente) donde tuvo su principal desarrollo. En Alejandría, entre los años 330 y 275 a. c. vivió un hombre que sistematizó y amplió los conocimientos geométricos hasta entonces conocidos. Si bien pasó desapercibido (junto a su obra) en su época, estableció, bajo la forma axiomática, las relaciones entre los conceptos primitivos y sus principales propiedades. De él hoy conocemos sólo su nombre, Euclides, y que escribió en trece libros denominados Stoikheia (elementos), los axiomas y los teoremas deducidos de ellos. Desgraciadamente no han llegado hasta nosotros toda esta bibliografía, sabemos de la existencia de ellos a través de los comentarios que se han hecho posteriormente.
    En el primer libro se enuncian los axiomas de enlace o existencia que relacionan a los conceptos primitivos entre sí y sus principales propiedades. De ellos, para este trabajo, sólo nos interesan los cinco primeros.
    Ellos son:
    1º- Trazar una recta de un punto cualquiera a otro: (lo que equivale a decir, por dos punto sólo pasa una recta )
    2º- Prolongar por continuidad en línea recta una línea limitada: (aquí surge la confusión de suponer a la recta como línea abierta únicamente.)
    3º- Describir el círculo con centro y radio dado.
    4º- Todos los ángulos rectos son iguales.
    5º- Si una recta al intersecar a dos rectas en un plano, forman ángulos internos sobre un mismo lado (ángulos conjugados internos) cuya suma sea menor que dos rectas; entonces las rectas, si se prolongan indefinidamente, se encontrarán del lado sobre el cual la suma sea menor que la de dos rectos.
    Este axioma fue motivo de discusión casi desde su formulación. El propio Euclides no lo utilizó hasta el teorema 29.
    Su elaboración y la impresión de redundancia motivó la suposición que debería demostrarse como un teorema partiendo de los demás postulados. Sólo hace poco más de un siglo que la idea de tomarlo como un postulado independiente de los demás ganó adeptos y hace menos de cien años se demostró, efectivamente, que era imposible demostrarlo.
    NEGACIÓN DEL QUINTO POSTULADO:
    Como ya se ha dicho, de los cinco postulados del sistema euclidiano, los cuatro primeros traducen propiedades más o menos evidentes, pero el quinto llama la atención por su mayor complejidad y por carecer de la evidencia intuitiva de que gozan los demás. Probablemente al propio Euclides le molestara esta deficiencia por lo que evita utilizarlo lo más posible.
    Sólo lo aplica por primera vez para demostrar la proposición 29 del libro I que dice : "una recta que corta a dos paralelas forma con ellas ángulos alternos internos iguales, correspondientes iguales e interiores de un mismo lado (conjugados internos) suplementarios."
    El esfuerzo de Euclides por evitar el uso del postulado V y construir la geometría con independencia del mismo justifica la muy repetida frase de que Euclides fue el primer geómetra no euclidiano, o que la geometría no euclidiana nació negando su paternidad.
    La primera idea que prevaleció por más de veinte siglos fue la de querer demostrar este postulado. Los sucesivos ensayos de demostración no dieron otro resultado que llevarlo a formas equivalentes, aunque, en ciertos casos, con apariencia muy distinta a la versión original.
    CUANDO EL PARALELISMO EQUIVALE AL QUINTO POSTULADO:
    Una tendencia que afloró repetidas veces fue la de modificar la definición de rectas paralelas. Para Euclides eran aquellas que "no se encuentran por más que se las prolongue" (Def. XXIII, libro I) . Proclo, matemático bizantino al que se le deben las pocas noticias sobre Euclides, las define diciendo: "la distancia entre dos puntos de dos rectas que no se cortan puede hacerse tan grande como se quiera prolongando suficientemente las dos rectas". Esta proposición, que atribuye a Aristóteles y toma como evidente, vale que siempre las rectas se consideren líneas no cerradas. Así el 5º postulado puede enunciarse como :
    V 1 : Si una recta encuentra a una de dos paralelas, encuentra necesariamente a la otra.
    V 2 : Dos rectas paralelas a una tercera son paralelas entre sí
    V 3 : Por un punto exterior a una recta se puede trazar una y sólo una paralela a dicha recta.
    Esta última aseveración es la más conocida, la más comúnmente utilizada en la actualidad en los textos de geometría y se la atribuye usualmente a John Playfair, matemático y geólogo inglés de principios del siglo XIX. Otra orientación que propone un nuevo aspecto en la incidencia del postulado es la del Jesuita G. Saccheri según la cual se demuestra que dicho axioma es equivalente a afirmar que: " la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos ".
    LAS GEOMETRÍAS: Diferencias
    Existen tres tipos de geometrías que surgen a partir del quinto postulado:
    1. Si se lo acepta: Por un punto exterior a una recta pasa una y sólo una recta paralela a ella.
    Estamos frente a la geometría euclidiana, la que aprendemos en el colegio secundario.
    Si se lo niega quedan dos opciones:
    2. Por un punto exterior a una recta pasan infinitas rectas paralelas a ella.
    Estamos frente a la geometría no euclidiana llamada hiperbólica. Ej. Silla de montar.
    3. Por un punto exterior a una recta no pasa ninguna recta paralela a ella.
    Estamos frente a la geometría no euclidiana llamada elíptica donde sus rectas son rectas cerradas llamadas geodésicas. Ej. globo terráqueo.

    Una forma de comprender las diferencias entre las tres geometrías se encuentra en la demostración de la proposición según la cual "la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180º (un llano)", válida únicamente en la geometría euclidiana por ser equivalente al quinto postulado. En la geometría elíptica la suma de los ángulos interiores de un triángulo es mayor que 180º mientras que en la geometría hiperbólica es menor.
    El LADO OSCURO DE LOS ELEMENTOS
    Los célebres Elementos de Euclides es una obra extensa, exhaustiva, que sin embargo deja sin enunciar explícitamente hechos esenciales como que dos circunferencias pueden cortarse, que toda circunferencia define un recinto interior y otro exterior, etc.
    Es por eso que Bertrand Russell, con criterios de rigor modernos, pudo decir que la cuarta proposición euclidiana era una "trama de sin sentidos" declarando además escandaloso que estos libros fueran empleados (en su época) como libro de texto.
    Por otra parte, la geometría de Euclides fue el primer intento decisivo de organizar axiomáticamente esta disciplina, y malamente podemos considerarlo culpable de no detectar todos los que le pondrían D. Hilbert y otros al formalizar el sistema de principios de este siglo. Entre las pruebas del genio de Euclides, ninguna más llamativa que la comprensión de que su notorio quinto postulado no era un teorema sino un axioma, y como tal, es preciso aceptarlo sin demostración.
    LA GUERRA DE LA GEOMETRÍA
    A principios del siglo XIX los esfuerzos por demostrar el postulado de las paralelas adquirieron carácter de manía.
    El matemático alemán Karl F. Gauss (1777 – 1855) fue probablemente quién creyera por primera vez en la independencia del quinto postulado al aceptar la posibilidad lógica de que existiera una geometría en la cual se negara al quinto postulado, pero, por temor a la incomprensión no publicó nada al respecto y sus reflexiones sobre el tema se conocieron sólo a través de correspondencia.
    En 1829 se publicó el primer trabajo sobre geometría no – euclidiana, fue escrito por el matemático ruso Lobachevsky (1793 – 1856), pero el desconocimiento del idioma ruso fuera de la propia Rusia y las muchas críticas que recibió en su país, impidieron que su trabajo llamara particularmente la atención.
    El húngaro Farkas Bolyai derrochó gran parte de su vida en tarea de demostrar el quinto postulado y en su juventud lo analizó no pocas veces con su amigo alemán Karl F. Gauss. Janos Bolyai, hijo de Farkas, llegó a obsesionarse de tal forma con el problema que su padre, conmovido, llegó a escribirle: "Por amor de Dios, te lo suplico, abandona. No le temas en menor grado a las pasiones de los sentidos, por que, como ellas, puede robarte todo tu tiempo y privarte de la salud, la tranquilidad de ánimo y el goce de la vida."
    Janos no atendió a los ruegos de su padre y llegó a convencerse muy pronto que el postulado, además de ser indemostrable, era independiente de los restantes y de su negación podía crearse un sistema diferente geométricamente coherente. Ufano escribiría a su padre en 1823: "de la nada he creado un universo nuevo". Farkas rápidamente pidió permiso a su hijo para publicar sus afirmaciones en el apéndice de un libro que estaba terminando de escribir. La breve obra maestra de Janos apareció, efectivamente, en el libro de su padre tres años después de la publicación del matemático Ruso. Lo peor es que cuando Farkas envió el apéndice a su amigo Gauss, el príncipe de las matemáticas le contestó que de alabar la obra estaría alabándose a sí mismo pues él había realizado idéntico trabajo muchos años antes aunque sin publicarlo, en otras cartas explicó de su miedo a las reacciones de sus colegas conservadores. Anonadado por la carta de gauss, Janos incluso llegó a sospechar que su padre hubiera podido revelar al alemán su formidable trabajo. Cuando, años más tarde, supo que el trabajo de Lobachevsky había salido antes que el suyo, Janos perdió interés en el tema y no volvió a publicar nada más. Hay que tener en cuenta que Janos era oficial de caballería y que para él las matemáticas eran sólo un hobby.
    En ciertos aspectos la historia del jesuita italiano Giolaro Saccheri es más triste que la anterior. Saccheri llegó a construir ambos tipos de geometrías ¡sin darse cuenta!. En todo caso Saccheri se negó a aceptar que ninguna geometría de estas estuviera libre de contradicciones, si bien algunos historiadores opinan lo contrario opinan que si Saccheri hizo creer lo contrario fue para que publicaran su obra. "Proclamar que un sistema no – euclidiano pudiera ser verdadero como el de Euclides hubiera sido una invitación temeraria a ser reprendido..." Por lo que el Copérnico de la geometría se valió de un subterfugio: corriendo un riesgo calculado Saccheri denunció su propia obra esperando que así, con esta mentira piadosa, lograra que su herejía burlara la barrera de la censura.
    Lobachevsky y Bolyai construyeron una geometría donde, dada una recta (infinita) y un punto fuera de ella, había infinitas rectas que pasaban por el punto pero no cortaban a la recta, o sea, eran paralelas. Habían establecido la negación del quinto postulado y su geometría se llamaría "hiperbólica". Un momento importante en la historia de estas geometrías ocurrió en 1854 cuando George B. Riemann (1826 – 1866) presentó una tesis en la universidad de Gottingen, Alemania. Basándose en los trabajos de Gauss fundamentó una geometría basada en el concepto de la curvatura. Las geometrías pasarán posteriormente a describirse como casos especiales de la geometría de Riemann.
    APLICACIONES DE LA GEOMETRÍA NO – EUCLIDIANA:
    Es curioso observar como los creadores de la geometría no euclidiana de la primera mitad del siglo XIX, a pesar de su obra capital, parecieran alejarse del concepto platónico que preside Los Elementos de Euclides y, retrocediendo, vuelven a considerar la geometría como una ciencia destinada a medir las cosas de la tierra. En efecto, al vislumbrar la posibilidad de geometrías distintas de la euclidiana, en lugar de adquirir el convencimiento de que el postulado V es indemostrable, y que en consecuencia, existen otras geometrías igualmente verdaderas, mostraron una constante preocupación por averiguar, por vía experimental, cual era la verdadera geometría, es decir, cual era la geometría válida para la naturaleza.
    Descripciones no – euclidianas del mundo físico, utilizadas por ejemplo en la teoría de la relatividad y en las investigaciones sobre fenómenos ópticos y sobre la propagación de ondas, se revelaron bastante adecuadas. Las nuevas geometrías colaboraron así mismo en la interpretación de modelos representativos de conceptos abstractos muy utilizados hoy en día en física y otras áreas de la ciencia, como por ejemplo la estadística.
    A modo de ejemplo: Newton entendía a la gravitación como una acción de fuerzas. Dos masas (imaginemos dos esferas) ejercen entre sí una fuerza que se "mueve"(figurativamente hablando) a lo largo de la recta que pasa por sus centros. Para Einstein la gravedad se debe a una "curvatura" del espacio – tiempo. Para él toda masa produciría una distorsión, una curvatura en el espacio por el cual nosotros nos "deslizaríamos". Imaginemos una cama bien tendida, su superficie se asemeja a una superficie euclidiana, una superficie plana. Si sobre esa superficie se apoya un libro pesado esa superficie deja de ser plana para transformarse en "curva". Cualquier objeto que se encuentre sobre la sábana cerca del libro se deslizará hacia él por efecto de la curvatura. En el caso del espacio – tiempo, La Tierra, por ejemplo, curvaría nuestro espacio de manera que cuando soltamos un lápiz él se deslizaría por "esa curvatura" hacia el suelo.
    Actualmente las geometrías no – euclidianas aparecen vinculadas a trabajos de investigación concernientes a los más diversos campos de interés de la matemática, así por ejemplo a los sistemas dinámicos, funciones automorfas y la teoría de los números. Su utilidad es muy destacada en el estudio de variedades (superficies) tridimensionales.

41. DANIEL FONSECA 21 jun 2007 - 05:05 PM

    Funciones trigonométricas de ángulos

    ( fig.1)

    Signos de las funciones trigonométricas

    De acuerdo con el cuadrante en que se halle el lado terminal del ángulo y teniendo en cuenta que la distancia de un punto cualquiera al origen de coordenadas es siempre positiva, y aplicando la "ley de los signos", las funciones trigonométricas pueden ser positivas o negativas.
    En la tabla de la parte inferior se resumen los signos de las funciones trigonométricas en cada uno de los cuadrantes.

    seno coseno tangente cotangente secante cosecante
    I + + + + + +
    II + +
    III + +
    IV + +

    Funciones trigonométricas en un círculo goniométrico:
    Como ya se dijo con anterioridad, un círculo trigonométrico o goniométrico tiene un radio cuya medida es igual a la unidad. De acuerdo con las deficiones y teniendo en cuenta que la distancia al origen de P es 1, se tiene:

    Ejercicios resueltos

    En los ejercicios 1 y 2 se dan las coordenadas de P; calcule el valor de las funciones trigonométricas del ángulo correspondiente. En los ejercicios 3 a 6 deduzca los signos de las funciones trigonométricas para el ángulo que se da.

    S o l u c i o n e s

    Ver anuncio

    ->Consigue tu propio nombre de dominio antes de que sea demasiado tarde! Hosting gratuito

42. Maria D`ian Lopez 017 21 jun 2007 - 06:53 PM

    La geometría clásica se encargaba de buscar construcciones con regla y compás. Posteriormente, dado que toda construcción es repetición de cinco operaciones básicas sobre unos elementos (rectas y puntos), comenzaron a tratarse como operaciones con símbolos algebraicos, y la barrera entre álgebra y geometría se difuminó hasta llegar al Programa de Erlangen [1], que define la geometría como el estudio los invariantes de un conjunto (como puede ser por ejemplo, pero no necesariamente, el espacio) mediante transformaciones. Esto quiere decir que cada grupo determina sobre un conjunto una serie de propiedades invariantes, y al estudio de cada familia de propiedades invariantes determinadas por cada grupo de transformaciones en cada conjunto es a lo que se dedica la Geometría.

    Actualmente resulta difícil, a veces, establecer una distinción precisa entre la Geometría y el Análisis. En cualquier caso son fundamentales en ella las aportaciones del Álgebra y la Topología.

    Como gran representante tómese a la Topología geométrica, una ciencia donde sus objetos, métodos y propiedades utilizan y desarrollan construcciones muy importantes: como el Polinomio de Jones —sofisticada construcción relacionada a los nudos en 3-variedades— que muestra muchas misteriosas conexiones de esta (topología de dimensiones bajas) con la física moderna. Otro buen ejemplo es la teoría de Blow Ups de la Geometría algebraica.

43. rudy prado 017-D 22 jun 2007 - 01:29 AM

    La geometría es una rama de la matemática que estudia idealizaciones del espacio: puntos, rectas, planos, polígonos, poliedros, curvas, superficies, etc. Se utiliza para solucionar problemas concretos y es la justificación teórica de muchos instrumentos: compás, teodolito, pantógrafo, etc. Una parte importante de la geometría clásica es el estudio de las construcciones con regla y compás.

    También da fundamento teórico a inventos como el sistema de posicionamiento global (en especial cuando se la considera en combinación con el Análisis Matemático y sobre todo con las Ecuaciones diferenciales). Es útil en la preparación de diseños (justificación teórica de la Geometría Descriptiva y del DibuGEOMETRÍA
    La historia del origen de la Geometría es muy similar a la de la Aritmética, siendo sus conceptos más antiguos consecuencia de las actividades prácticas. Los primeros hombres llegaron a formas geométricas a partir de la observación de la naturaleza.
    El sabio griego Eudemo de Rodas, atribuyó a los egipcios el descubrimiento de la geometría, ya que, según él, necesitaban medir constantemente sus tierras debido a que las inundaciones del Nilo borraban continuamente sus fronteras. Recordemos que, precisamente, la palabra geometría significa medida de tierras.

    Los egipcios se centraron principalmente en el cálculo de áreas y volúmenes, encontrando, por ejemplo, para el área del círculo un valor aproximado de ( de 3'1605. Sin embargo el desarrollo geométrico adolece de falta de teoremas y demostraciones formales. También encontramos rudimentos de trigonometría y nociones básicas de semejanza de triángulos.

    También se tienen nociones geométricas en la civilización mesopotámica, constituyendo los problemas de medida el bloque central en este campo: área del cuadrado, del círculo (con una no muy buena aproximación de (=3), volúmenes de determinados cuerpos, semejanza de figuras, e incluso hay autores que afirman que esta civilización conocía el teorema de Pitágoras aplicado a problemas particulares, aunque no, obviamente, como principio general.

    No se puede decir que la geometría fuese el punto fuerte de las culturas china e india, limitándose principalmente a la resolución de problemas sobre distancias y semejanzas de cuerpos. También hay quien afirma que estas dos civilizaciones llegaron a enunciados de algunos casos particulares del teorema de Pitágoras, e incluso que desarrollaron algunas ideas sobre la demostración de este teorema.

    En los matemáticos de la cultura helénica los problemas prácticos relacionados con las necesidades de cálculos aritméticos, mediciones y construcciones geométricas continuaron jugando un gran papel. Sin embargo, lo novedoso era, que estos problemas poco a poco se desprendieron en una rama independiente de las matemáticas que obtuvo la denominación de "logística". A la logística fueron atribuidas: las operaciones con números enteros, la extracción numérica de raíces, el cálculo con la ayuda de dispositivos auxiliares, cálculo con fracciones, resolución numérica de problemas que conducen a ecuaciones de 1er y 2º grado, problemas prácticos de cálculo y constructivos de la arquitectura, geometría, agrimensura, etc...

    Al mismo tiempo ya en la escuela de Pitágoras se advierte un proceso de recopilación de hechos matemáticos abstractos y la unión de ellos en sistemas teóricos. Junto a la demostración geométrica del teorema de Pitágoras fue encontrado el método de hallazgo de la serie ilimitada de las ternas de números "pitagóricos", esto es, ternas de números que satisfacen la ecuación a2+b2=c2.

    En este tiempo transcurrieron la abstracción y sistematización de las informaciones geométricas. En los trabajos geométricos se introdujeron y perfeccionaron los métodos de demostración geométrica. Se consideraron, en particular: el teorema de Pitágoras, los problemas sobre la cuadratura del círculo, la trisección de un ángulo, la duplicación del cubo, la cuadratura de una serie de áreas (en particular las acotadas por líneas curvas).

    .Paralelamente, al ampliarse el número de magnitudes medibles, debido a la aparición de los números irracionales, se originó una reformulación de la geometría, dando lugar al álgebra geométrica. Esta nueva rama incluía entre otros conceptos el método de anexión de áreas, el conjunto de proposiciones geométricas que interpretaban las cantidades algebraicas, división áurea, expresión de la arista de un poliedro regular a través del diámetro de la circunferencia circunscrita. Sin embargo, el álgebra geométrica estaba limitada a objetos de dimensión no mayor que dos, siendo inaccesibles los problemas que conducían a ecuaciones de tercer grado o superiores, es decir, se hacían imposibles los problemas que no admitieran solución mediante regla y compás. La historia sobre la resolución de los tres problemas geométricos clásicos (sobre la cuadratura del círculo, la trisección de un ángulo, la duplicación del cubo) está llena de anécdotas, pero lo cierto es que como consecuencia de ellos surgieron, por ejemplo, las secciones cónicas, cálculo aproximado del número pi, el método de exhaución como predecesor del cálculo de límites o la introducción de curvas trascendentes.

    Asimismo, el surgimiento de la irracionalidad condicionó la necesidad de creación de una teoría general de las relaciones, teoría cuyo fundamento inicial lo constituyó el algoritmo de Euclides.

    Las primeras teorías matemáticas que se abstrajeron de los problemas concretos o de un conjunto de problemas de un mismo tipo, crearon las condiciones necesarias y suficientes para el reconocimiento de la autonomía y especificidad de las matemáticas.
    El carácter abstracto del objeto de las matemáticas y los métodos de demostración matemática establecidos, fueron las principales causas para que esta ciencia se comenzara a exponer como una ciencia deductiva, que a partir de unos axiomas, presenta una sucesión lógica de teoremas. Las obras en las cuales, en aquella época se exponían los primeros sistemas matemáticos de denominaban "Elementos".

    Se encuentran elementos pertenecientes a muchos autores, sin embargo todos ellos han quedado relegados a un segundo plano tras la obra matematica más impresionante de la historia: Los Elementos de Euclides. "Los Elementos", como denominaremos a esta obra a partir de ahora, están constituidos por trece libros, cada uno de los cuales consta de una sucesión de teoremas. A veces se añaden otros dos, los libros 14 y 15 que pertenecen a otros autores pero por su contenido, están próximos al último libro de Euclides.

    En "Los Elementos" de Euclides se recogen una serie de axiomas o postulados que sirvieron de base para el posterior desarrollo de la geometría. Es de especial interés, por la controversia que originó en épocas posteriores el quinto axioma, denominado "el de las paralelas", según el cual dos rectas paralelas no se cortan nunca. Durante siglos se asumió este axioma como irrebatible, hasta que en el siglo XIX surgieron las llamadas geometrías no euclídeas, que rebatieron este postulado.

    Con posterioridad a Euclides y Arquímedes, las matemáticas cambiaron fuertemente, tanto en su forma como en su contenido, haciendo el proceso de formación de nuevas teorías más pausado, hasta llegar a interrumpirse.
    Entre las nuevas teorías desarrolladas ocupa el primer lugar la teoría de las secciones cónicas, que surgió de las limitaciones del álgebra geométrica. El interés hacia las secciones cónicas creció a medida que aumentaban la cantidad de problemas resueltos con su ayuda. Sin duda, la obra más completa, general y sistemática de las secciones cónicas se debe a Apolonio de Perga.

    En la época del dominio romano destacan algunos recetarios en forma de reglas que permitían el cálculo de algunas áreas y volúmenes; y en especial la conocida fórmula de Herón para calcular el área del triángulo conocidos los tres lados.

    Durante el primer siglo del Imperio Musulmán no se produjo ningún desarrollo científico, ya que los árabes, no habían conseguido el impulso intelectual necesario, mientras que el interés por el saber en el resto del mundo, había desaparecido casi completamente. Fue a partir de la segunda mitad del siglo VIII, cuando comenzó el desenfrenado proceso de traducir al árabe todas las obras griegas conocidas, fundándose escuelas por todo el Imperio.

    Destacaremos como avance anecdótico, pero no por ello carente de valor, la obtención del número pi con 17 cifras exactas mediante polígonos inscritos y circunscritos en la circinferencia realizada por Kashi (s. XV). Después de más de 150 años, en 1593, en Europa, Viète encontró sólo nueve cifras exactas. Hubo que esperar a fines del siglo XVI y comienzos del XVII para repetir el cálculo de Kashi.

    El rasgo característico más importante de las matemáticas árabes fue la formación de la trigonometría. En relación con los problemas de astronomía, confeccionaron tablas de las funciones trigonométricas con gran frecuencia y alto grado de exactitud, tanto en trigonometría plana como esférica.
    Entre las obras geométricas destacan las de Omar Khayyam (s. XVI) y Nasir Edin (s. XIII), directamente influenciadas por las obras clásicas, pero a las que contribuyeron con distintas generalizaciones y estudios críticos, como los relativos al axioma euclideano del paralelismo, que pueden considerarse como estudios precursores de la geometría no euclideana.

    En el continente europeo, las matemáticas no tienen un origen tan antiguo como en muchos países del Lejano y Medio Oriente, alcanzando sólo éxitos notorios en la época del medievo desarrollado y especialmente en el Renacimiento.

    Podemos considerar la obra de Fibonacci "Practica Geometriae" como el punto de arranque de la geometría renacentista. Esta obra está dedicada a resolver determinados problemas geométricos, especialmente medida de áreas de polígonos y volúmenes de cuerpos.
    Otro contemporáneo, aunque no tan excepcionalmente dotado fue Jordano Nemorarius (1237-?) a quien debemos la primera formulación correcta del problema del plano inclinado.

    El profesor parisino Nicole Oresmes (1328-1382) llegó a utilizar en una de sus obras coordenadas rectangulares, aunque de forma rudimentaria, para la representación gráfica de ciertos fenómenos físicos.

    Ya en el siglo XV, época de las grandes navegaciones, la trigonometría fue separada de la astronomía, alzándose como ciencia independiente de la mano de Regiomontano (1436-1474), que trató de una manera sistemática todos los problemas sobre la determinación de triángulos planos y esféricos. Asimismo en esta obra se establece un notable cambio desde el álgebra literal al álgebra simbólica.
    Fue François Viète (1540-1603) quien dio un sistema único de símbolos algebraicos consecuentemente organizado, estableciendo en todo momento, una fuerte conexión entre los trabajos trigonométricos y algebraicos, de forma que de igual manera que se le considera el creador del álgebra lineal, se le podría considerar como uno de los padres del enfoque analítico de la trigonometría, esto es, la goniometría.

    Para hacer más fáciles los cálculos, los matemáticos desarrollaron ciertos procedimientos en los que, el papel fundamental lo jugaban determinadas relaciones trigonométricas, lo que llevó a la confección de numerosas tablas trigonométricas. En la elaboración de tablas trabajaron, por ejemplo, Copérnico (1473-1543) y Kepler (1571,1630). Semejantes métodos se utilizaban tan frecuentemente que recibieron el nombre de "prostaferéticos". Ellos fueron utilizados por los matemáticos de Oriente Medio, Viète, Tycho Brahe, Wittich, Bürgi y muchos otros. Estos métodos siguieron utilizándose incluso después de la invención de los logaritmos a comienzos del siglo XVII, aunque sus fundamentos, basados en la comparación entre progresiones aritméticas y geométricas, comenzaron a fraguarse mucho antes.
    Durante el siglo XVII surgieron casi todas las disciplinas matemáticas, produciéndose en lo que a la geometría se refiere el nacimiento de la geometría analítica.
    Sin duda los dos grandes en esta materia y época fueron René Descartes (1596-1650) y Pierrede Fermat (1601-1655).

    La última parte de la famosa obra de Descartes "Discurso del Método" denominada "Géometrie", detalla en su comienzo, instrucciones geométricas para resolver ecuaciones cuadráticas, centrándose seguidamente en la aplicación del álgebra a ciertos problemas geométricos. Analiza también curvas de distintos órdenes, para terminar en el tercer y último libro que compone la obra, con la construcción de la teoría general de ecuaciones, llegando a la conclusión de que el número de raíces de una ecuación es igual al grado de la misma, aunque no pudo demostrarlo. Prácticamente la totalidad de la Géometrie está dedicada a la interrelación entre el álgebra y la geometría con ayuda del sistema de coordenadas.

    Simultáneamente con Descartes, Pierre de Fermat desarrolló un sistema análogo al de aquél. Las ideas de la geometría analítica, esto es, la introducción de coordenadas rectangulares y la aplicación a la geometría de los métodos algebraicos, se concentran en una pequeña obra: "introducción a la teoría de los lugares planos y espaciales". Aquellos lugares geométricos representados por rectas o circunferencias se denominaban planos y los representados por cónicas, especiales. Fermat abordó la tarea de reconstruir los "Lugares Planos" de Apolonio, describiendo alrededor de 1636, el principio fundamental de la geometría analítica: "siempre que en una ecuación final aparezcan dos incógnitas, tenemos un lugar geométrico, al describir el extremo de uno de ellos una línea, recta o curva". Utilizando la notación de Viète, representó en primer lugar la ecuación Dx=B, esto es, una recta. Posteriormente identificó las expresiones xy=k2; a2+x2=ky; x2+y2+2ax+2by=c2; a2-x2=ky2 con la hipérbola, parábola circunferencia y elipse respectivamente. Para el caso de ecuaciones cuadráticas más generales, en las que aparecen varios términos de segundo grado, aplicó rotaciones de los ejes con objeto de reducirlas a los términos anteriores.

    La extensión de la geometría analítica al estudio de los lugares geométricos espaciales, la realizó por la vía del estudio de la intersección de las superficies espaciales por planos. Sin embargo, las coordenadas espaciales también en él están ausentes y la geometría analítica del espacio quedó sin culminar.

    Lo que sí está totalmente demostrado, es que la introducción del método de coordenadas deba atribuirse a Fermat y no a Descartes, sin embargo su obra no ejerció tanta influencia como la Géometrie de Descartes, debido a la tardanza de su edición y al engorroso lenguaje algebraico utilizado.

    El desarrollo posterior de la geometría analítica, mostró que las ideas de Descartes sobre la unificación del álgebra y geometría no pudo realizarse sino que siguieron un camino separado aunque relacionado.

    El surgimiento de la geometría analítica, aligeró sustancialmente la formación del análisis infinitesimal y se convirtió en un elemento imprescindible para la construcción de la mecánica de Newton, Lagrange y Euler, significanda la aparición de las posibilidades para la creación del análisis de variables.

    Ya en el siglo XVIII se completó el conjunto de las disciplinas geométricas y, excluyendo sólo las geometrías no euclideanas y la apenas iniciada geometría analítica, prácticamente todas las ramas clásicas de la geometría, se formaron en este siglo. Así además de la consolidación de la geometría analítica, surgieron la geometría diferencial, descriptiva y proyectiva, así como numerosos trabajos sobre los fundamentos de la geometría. Entre los diferentes problemas y métodos de la geometría, tuvieron gran significado las aplicaciones geométricas del cálculo infinitesimal. De ellas surgió y se desarrolló la geometría diferencial, la ciencia que ocupó durante el siglo XVIII el lugar central en al sistema de las disciplinas geométricas. Estudiemos por separado cada una de estas ramas:

    Geometría Analítica:
    Bajo esta denominación se considera aquella parte de la geometría donde se estudian las figuras y transformaciones geométricas dadas por ecuaciones algebraicas. Las puertas a esta rama fueron abiertas, ya en el siglo XVII por Descartes y Fermat, pero sólo incluían problemas planos. Hubo de ser Newton quien en 1704 diera un paso importante al publicar la obra, "Enumeración de las curvas de tercer orden", clasificando las curvas según el número posible de puntos de intersección con una recta, obteniendo un total de 72 tipos de curvas, que se podían representar por ecuaciones de cuatro tipos. Si designamos ax3+bx2+cx+d=A, entonces las soluciones indicadas serán: xy2+ey=A ; xy=A ; y2=A ; y=A. Sin embargo, lo verdaderamente importante de esta obra fue el descubrimiento de las nuevas posibilidades del método de coordenadas, definiendo los signos de las funciones en los cuatro cuadrantes.
    Con posterioridad a Newton, las curvas de tercer orden fueron estudiadas por Stirling, Maclaurin, Nicolle, Maupertius, Braikenridge, Steiner, Salmon, Silvestre, Shall, Clebsch y otros.

    Fue Euler quien, en 1748, sistematizó la geometría analítica de una manera formal. En primer lugar expuso el sistema de la geometría analítica en el plano, introduciendo además de las coordenadas rectangulares en el espacio, las oblicuas y polares. En segundo lugar, estudió las transformaciones de los sistemas de coordenadas. También clasificó las curvas según el grado de sus ecuaciones, estudiando sus propiedades generales. En otros apartados de sus obras trató las secciones cónicas, las formas canónicas de las ecuaciones de segundo grado, las ramas infinitas y asintóticas de las secciones cónicas y clasificó las curvas de tercer y cuarto orden, demostrando la inexactitud de la clasificación newtoniana. También estudió las tangentes, problemas de curvaturas, diámetros y simetrías, semejanzas y propiedades afines, intersección de curvas, composición de ecuaciones de curvas complejas, curvas trascendentes y la resolución general de ecuaciones trigonométricas. Todo estos aspectos se recogen en el segundo tomo de la obra "Introducción al análisis..." que Euler dedicó exclusivamente a la geometría analítica.

    En la segunda mitad del siglo se introdujeron sólo mejoras parciales, pues en lo fundamental, la geometría analítica ya estaba formada. Destacaremos entre otros los nombres de G. Monge, Lacroix y Menier.

    Geometría diferencial:
    Esta disciplina matemática se encarga del estudio de los objetos geométricos, o sea, las curvas, superficies etc... Su singularidad consiste en que partiendo de la geometría analítica utiliza métodos del cálculo diferencial.
    A comienzos de siglo ya habían sido estudiados muchos fenómenos de las curvas planas por medio del análisis infinitesimal, para pasar posteriormente a estudiar las curvas espaciales y las superficies. Este traspaso de los métodos de la geometría bidimensional al caso tridimensional fue realizado por Clairaut. Sin embargo, su obra fue eclipsada, como casi todo en esta época, por los trabajos de Euler.

    El primer logro de Euler en este terreno, fue la obtención de la ecuación diferencial de las líneas geodésicas sobre una superficie, desarrollando a continuación una completa teoría de superficies, introduciendo entre otros el concepto de superficie desarrollable.

    A finales de siglo, es desarrollo de esta rama entró en un ligero declive, debido principalmente a la pesadez y complejidad del aparato matemático.

    Geometría descriptiva y proyectiva:
    Los métodos de la geometría descriptiva surgieron en el dominio de las aplicaciones técnicas de la matemática y su formación como ciencia matemática especial, se culminó en los trabjos de Monge, cuya obra en este terreno quedó plasmada en el texto "Géometrie descriptive". En la obra se aclara, en primer lugar, el método y objeto de la geometría descriptiva, prosiguiendo a continuación, con instrucciones sobre planos tangentes y normales a superficies curvas. Analiza en capítulos posteriores la intersección de superficies curvas y la curvatura de líneas y superficies.
    El perfeccionamiento de carácter particular y la elaboración de diferentes métodos de proyección contituyeron el contenido fundamental de los trabjos sobre geometría proyectiva en lo sucesivo. La idea del estudio de las propiedades proyectivas de los objetos geométricos, surgió como un nuevo enfoque que simplificara la teoría de las secciones cónicas. Las obras de Desargues y Pascal resuelven este problema y sirven de base a la nueva geometría.

    Como acabamos de ver la geometría hacia comienzos del siglo XIX representaba ya un amplio complejo de disciplinas surgidas del análisis y generalizaciones de los datos sobre las formas espaciales de los cuerpos. Junto a las partes elementales, se incluyeron en la geometría casi todas aquellas partes que la conforman actualmente.

    La geometría analítica realizó un gran camino de desarrollo y determinó su lugar como parte de la geometría que estudia las figuras y transformaciones dadas por ecuaciones algebraicas con ayuda del método de coordenadas utilizando los métodos del álgebra.

    La geometría diferencial se caracterizó por la utilización de los conceptos y métodos del cálculo diferencial, lo que conllevó relaciones estables con el análisis matemático y con numerosos problemas aplicados.

    Una de las características principales de la geometría que se desarrolló durante la segunda mitad del siglo XIX, fue el entusiasmo con que los matemáticos estudiaron una gran variedad de transformaciones. De ellas, las que se hicieron más populares fueron las que constituyen el grupo de transformaciones que definen la denominada geometría proyectiva. Los métodos aparentemente detenidos en su desarrollo desde la época de Desargues y Pascal, de estudio de las propiedades de las figuras invariantes respecto a la proyección, se conformaron en los años 20 del siglo XIX en una nueva rama de la geometría: la geometría proyectiva, merced sobre todo a los trabajos de J. Poncelet.
    Otro aspecto esencial durante este siglo fue el desarrollo de las geometrías no euclideanas. Podríamos considerar fundador de esta geometría al matemático ruso Nicolai Ivanovich Lobachevski (1792-1856). Su obra mostraba que era necesario revisar los conceptos fundamentales que se admitían sobre la naturaleza de la matemática, pero ante el rechazo de sus contemporáneos tuvo que desarrollar sus ideas en solitario aislamiento.
    El punto de partida de las investigaciones de Lobachevski sobre geometría no euclideana fue el axioma de las paralelas de Euclides, sin demostración durante siglos. Lobachevski, que inicialmente intentó demostrar dicho axioma, rápidamente se dio cuenta que ello era imposible, sustituyendo dicho axioma por su negación: a través de un punto no contenido en una recta se puede trazar más de una paralela que yace en el mismo plano que la primera.

    El año 1826 puede considerarse como la fecha de nacimiento de esta geometría no euclideana o lobachevskiana, siendo en ese año cuando el autor presentó muchos de los trabajos que avalaban la nueva teoría.

    En 1829 Janos Bolyai (1802-1860) llegó a la misma conclusión a la que había llegado Lobachevski. E incluso el mismo Gauss que apoyaba y elogiaba a escondidas, nunca de forma pública, los trabajos de Bolyai y Lobachevski, es posible que mantuviera los mismos puntos de vista pero los calló por temor a comprometer su reputación científica.

    La geometría no euclideana continuó siendo durante varias décadas un aspecto marginal de la matemática, hasta que se integró en ella completamente gracias a las concepciones extraordinariamente generales de Rieman.

    jo Técnico), e incluso en la fabricación de artesanías.

44. JORGE LEAL. SECCION: I-017D 22 jun 2007 - 02:47 PM

    LA TRIGONOMETRIA

    La 'trigonometría (< Griego trigōnon "triángulo" + metron "medida"[1], de ahí su significado etimológico viene a ser la medición de los triángulos). La trigonometría es una rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. Para esto la trigonometría se vale del estudio de las funciones o razones trigonométricas las cuales son utilizadas frecuentemente en cálculos técnicos. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas, de la geometría del espacio.

    Trigonometría, rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos. Etimológicamente significa ‘medida de triángulos’.

    Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación, la geodesia y la astronomía, en los que el principal problema era determinar una distancia inaccesible, es decir, una distancia que no podía ser medida de forma directa, como la distancia entre la Tierra y la Luna. Se encuentran notables aplicaciones de las funciones trigonométricas en la física y en casi todas las ramas de la ingeniería, sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos, como el flujo de corriente alterna.

    Las dos ramas fundamentales de la trigonometría son la trigonometría plana y la trigonometría esférica.

    Posee muchas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.

    Funciones trigonométricas.

    El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C; lo usaremos para definir las funciones seno, coseno y tangente, del ángulo , correspondiente al vértice A, situado en el centro de la circunferencia.

    El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sine" en inglés) es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa,

    El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa,

    La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto y el adyacente,

    Es el cociente del seno entre el coseno.

    Otras razones trigonométricas.

    Se definen la cosecante, la secante y la cotangente, como las razones inversas al seno, coseno y tangente, del siguiente modo:

    cosecante: (abreviado como csc o cosec) es la inversa de seno:

    secante: (abreviado como sec) es la inversa de coseno:

    cotangente: (abreviado como cot o cta) es la inversa de la tangente:

    Normalmente se emplean las funciones trigonométricas: seno, coseno y tangente, y salvo que haya un interés especifico en hablar de ellos o las expresiones matemáticas se simplifiquen muchísimo, los términos cosecante, secante y cotangente no suelen utilizarse.

45. MARILYN VILLEGAS. SECCION: I-017D 22 jun 2007 - 02:51 PM

    LA GEOMETRIA

    La geometría es una rama de la matemática que estudia idealizaciones del espacio: puntos, rectas, planos, polígonos, poliedros, curvas, superficies, etc. Se utiliza para solucionar problemas concretos y es la justificación teórica de muchos instrumentos: compás, teodolito, pantógrafo, etc. Una parte importante de la geometría clásica es el estudio de las construcciones con regla y compás.

    También da fundamento teórico a inventos como el sistema de posicionamiento global (en especial cuando se la considera en combinación con el Análisis Matemático y sobre todo con las Ecuaciones diferenciales). Es útil en la preparación de diseños (justificación teórica de la Geometría Descriptiva y del Dibujo Técnico), e incluso en la fabricación de artesanías.

    Historia de la Geometría.

    La geometría clásica se encargaba de buscar construcciones con regla y compás. Posteriormente, dado que toda construcción es repetición de cinco operaciones básicas sobre unos elementos (rectas y puntos), comenzaron a tratarse como operaciones con símbolos algebraicos, y la barrera entre álgebra y geometría se difuminó hasta llegar al Programa de Erlangen [1], que define la geometría como el estudio los invariantes de un conjunto (como puede ser por ejemplo, pero no necesariamente, el espacio) mediante transformaciones. Esto quiere decir que cada grupo determina sobre un conjunto una serie de propiedades invariantes, y al estudio de cada familia de propiedades invariantes determinadas por cada grupo de transformaciones en cada conjunto es a lo que se dedica la Geometría.

    Actualmente resulta difícil, a veces, establecer una distinción precisa entre la Geometría y el Análisis. En cualquier caso son fundamentales en ella las aportaciones del Álgebra y la Topología.

    Como gran representante tómese a la Topología geométrica, una ciencia donde sus objetos, métodos y propiedades utilizan y desarrollan construcciones muy importantes: como el Polinomio de Jones —sofisticada construcción relacionada a los nudos en 3-variedades— que muestra muchas misteriosas conexiones de esta (topología de dimensiones bajas) con la física moderna. Otro buen ejemplo es la teoría de Blow Ups de la Geometría algebraica.

46. jhonny pinto 22 jun 2007 - 03:14 PM

    Geometría:

    La geometría clásica se encargaba de buscar construcciones con regla y compás. Posteriormente, dado que toda construcción es repetición de cinco operaciones básicas sobre unos elementos (rectas y puntos), comenzaron a tratarse como operaciones con símbolos algebraicos, y la barrera entre álgebra y geometría se difuminó hasta llegar al Programa de Erlangen [1], que define la geometría como el estudio los invariantes de un conjunto (como puede ser por ejemplo, pero no necesariamente, el espacio) mediante transformaciones. Esto quiere decir que cada grupo determina sobre un conjunto una serie de propiedades invariantes, y al estudio de cada familia de propiedades invariantes determinadas por cada grupo de transformaciones en cada conjunto es a lo que se dedica la Geometría.

    Actualmente resulta difícil, a veces, establecer una distinción precisa entre la Geometría y el Análisis. En cualquier caso son fundamentales en ella las aportaciones del Álgebra y la Topología.

    Como gran representante tómese a la Topología geométrica, una ciencia donde sus objetos, métodos y propiedades utilizan y desarrollan construcciones muy importantes: como el Polinomio de Jones —sofisticada construcción relacionada a los nudos en 3-variedades— que muestra muchas misteriosas conexiones de esta (topología de dimensiones bajas) con la física moderna. Otro buen ejemplo es la teoría de Blow Ups de la Geometría algebraica.

    La geometría es una rama de la matemática que estudia idealizaciones del espacio: puntos, rectas, planos, polígonos, poliedros, curvas, superficies, etc. Se utiliza para solucionar problemas concretos y es la justificación teórica de muchos instrumentos: compás, teodolito, pantógrafo, etc. Una parte importante de la geometría clásica es el estudio de las construcciones con regla y compás.

    También da fundamento teórico a inventos como el sistema de posicionamiento global (en especial cuando se la considera en combinación con el Análisis Matemático y sobre todo con las Ecuaciones diferenciales). Es útil en la preparación de diseños (justificación teórica de la Geometría Descriptiva y del Dibujo Técnico), e incluso en la fabricación de artesanías.

    La geometría se propone ir más allá de lo alcanzado por la intuición, por ello es necesario un método riguroso en el que no se cometan errores. Para conseguirlo, se han utilizado históricamente los sistemas axiomáticos.

    El primer sistema axiomático fue el de Euclides, pero hoy se sabe que este sistema euclídeo es incompleto. Hilbert propuso a principios del siglo XX otro sistema axiomático, éste ya completo.

    Se distinguen tres tipos de enunciados: los axiomas, las definiciones y los teoremas.

    Como en todo sistema formal, debe tenerse en cuenta lo siguiente: las definiciones, axiomas y teoremas no pretenden (o no solo pretenden) describir el comportamiento de unos objetos. Cuando axiomatizamos algo, convertimos ese comportamiento en nuestro objeto de estudio, pudiendo olvidar ya los objetos iniciales del estudio (que se denominan modelo). Esto lo que significa es que en adelante, las palabras punto, recta y plano deben de perder todo significado visual para nosotros. Si conservamos las ideas de punto, recta y plano en nuestra mente como lo que todo el mundo comprende como tales, las definiciones y axiomas, e incluso algunos de los teoremas, nos parecerán evidentes y carentes de importancia. Eso es porque consideramos un único modelo de geometría, muy relacionado con el espacio físico, que es precisamente el modelo sobre el que nos basamos para crear el sistema axiomático. Pero siendo rigurosos, cualquier conjunto de objetos que verifique las definiciones y los axiomas cumplirá también todos los teoremas de la geometría en cuestión, y su comportamiento será virtualmente idéntico al del modelo "tradicional". Por ejemplo, si en la noción de "punto" consideramos el modelo en el que un punto cualquiera es un polinomio cualquiera de segundo grado f(x) = ax2 + bx + c, si una recta es para nosotros entonces una familia de polinomios de la siguiente manera y un plano es entendido como el conjunto , es posible ver que TODOS los resultados de las distintas geometrías son válidos para este modelo.

47. LEOMARY BRACHO...017 22 jun 2007 - 04:09 PM

    El álgebra lineal es la rama de la matemática que concierne al estudio de vectores, espacios vectoriales, transformaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales. Los espacios vectoriales son un tema central en la matemática moderna; por lo que el álgebra lineal es usada ampliamente en álgebra abstracta y análisis funcional. El álgebra lineal tiene una representación concreta en la geometría analítica, y tiene aplicaciones en el campo de las ciencias naturales y en las ciencias sociales.
    La historia del álgebra lineal moderna se remonta a los años de 1843 cuando William Rowan Hamilton (de quien proviene el uso del término vector) creó los cuaterniones; y de 1844 cuando Hermann Grassmann publicó su libro Die lineare Ausdehnungslehre.
    El álgebra lineal tiene sus orígenes en el estudio de los vectores en el plano y en el espacio tridimensional cartesiano. Aquí, un vector es un segmento, caracterizado por su longitud (o magnitud), dirección y sentido (u orientación). Los vectores pueden entonces utilizarse para representar ciertas magnitudes físicas, como las fuerzas, pueden sumarse y ser multiplicados por escalares, formando entonces el primer ejemplo de espacio vectorial real.

    Hoy día, el álgebra lineal se ha extendido para considerar espacios de dimensión arbitraria o incluso de dimensión infinita. Un espacio vectorial de dimensión n se dice que es n-dimensional. La mayoría de los resultados encontrados en 2 y 3 dimensiones pueden extenderse al caso n-dimensional. A mucha gente le resulta imposible la visualización mental de los vectores de más de tres dimensiones (o incluso los tridimensionales). Pero los vectores de un espacio n-dimensional pueden ser útiles para representar información: considerados como n-tuplas, es decir, listas ordenadas de n componentes, pueden utilizarse para resumir y manipular información eficientemente. Por ejemplo, en economía, se pueden crear y usar vectores octo-dimensionales u 8-tuplas para representar el Producto Interno Bruto de 8 países diferentes. Se puede simplemente mostrar el PIB en un año en particular, en donde se especifica el orden que se desea, por ejemplo, (Estados Unidos, Reino Unido, Francia, Alemania, España, India, Japón, Australia), utilizando un vector (v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8) en donde el PIB de cada país está en su respectiva posición.

    Un espacio vectorial (o espacio lineal), como concepto puramente abstracto en el que podemos probar teoremas, es parte del álgebra abstracta, y está bien integrado en élla. Por ejemplo, con la operación de composición, el conjunto de aplicaciones lineales de un espacio vectorial en sí mismo (endomorfismos) tiene estructura de anillo, y el subconjunto de las aplicaciones lineales que son invertibles (los automorfismos) tiene estructura de grupo. El Álgebra Lineal también tiene un papel importante en el cálculo, sobre todo en la descripción de derivadas de orden superior en el análisis vectorial y en el estudio del producto tensorial (en física, buscar momentos de torsión) y de las aplicaciones antisimétricas.

    Un espacio vectorial se define sobre un cuerpo, tal como el de los números reales o en el de los números complejos. Una aplicación (u operador) lineal hace corresponder los vectores de un espacio vectorial con los de otro (o de él mismo), de forma compatible con la suma o adición y la multiplicación por un escalar definidos en ellos. Elegida una base de un espacio vectorial, cada aplicación lineal puede ser representada por una tabla de números llamada matriz. El estudio detallado de las propiedades de las matrices y los algoritmos aplicados a las mismas, incluyendo los determinantes y autovectores, se consideran parte del álgebra lineal.

    En matemática los problemas lineales, aquellos que exhiben linealidad en su comportamiento, por lo general pueden resolverse. Por ejemplo, en el cálculo diferencial se trabaja con una aproximación lineal a funciones. La distinción entre problemas lineales y no lineales es muy importante en la práctica.

    Algunos teoremas útiles:
    Todo espacio lineal tiene una base (Esta afirmación es lógicamente equivalente al Axioma de elección)
    Una matriz A no nula con n filas y m columnas es no singular (invertible) si existe una matriz B que satisface AB = BA = I donde I es la matriz identidad.
    Una matriz es invertible si y sólo si su determinante es distinto de cero.
    Una matriz es invertible si y sólo si la transformación lineal representada por la matriz es un isomorfismo (vea también matriz invertible para otras afirmaciones equivalentes)
    Una matriz es positiva semidefinida si y sólo si cada uno de sus valores propios son mayores o iguales a cero
    Una matriz es positiva definida si y sólo si cada uno de sus valores propios son mayores a cero.

    Generalización y temas relacionados :
    Puesto que el álgebra lineal es una teoría exitosa, sus métodos se han desarrollado por otras áreas de la matemática: en la teoría de módulos, que remplaza al cuerpo en los escalares por un anillo; en el álgebra multilineal, uno lidia con 'múltiples variables' en un problema de mapeo lineal, en el que cada número de las diferentes variables se dirige al concepto de tensor; en la teoría del espectro de los operadores de control de matrices infi-dimensionales, aplicando el análisis matemático en una teoría que no es puramente algebraica. En todos estos casos las dificultades técnicas son mucho más grandes.

48. Miguelo Nuñez 22 jun 2007 - 05:30 PM

    Curva elíptica
    En matemáticas, las curvas elípticas se definen mediante ecuaciones cúbicas (de tercer grado). Han sido usadas para probar el último teorema de Fermat y se emplean también en criptografía (para más detalles puedes mirar el artículo criptografía de curvas elípticas) y en factorización de enteros. Estas curvas no son elipses: puedes ver integral elíptica para aprender algo sobre el origen del término.
    Las curvas elípticas son "regulares", es decir "no-singulares", lo que significa que no tienen "cúspides" ni autointersecciones, y se puede definir una operación binaria para el conjunto de sus puntos de una manera geométrica natural, lo que hace de dicho conjunto un grupo abeliano.
    Las curvas elípticas sobre el cuerpo de los números reales vienen dados por las ecuaciones y² = x³ − x y por y² = x³ − x + 1.

    Las curvas elípticas pueden definirse sobre cualquier cuerpo K; la definición formal de una curva elíptica es la de una curva algebraica proyectiva no singular sobre K de género 1.
    Si la característica de K no es ni 2 ni 3, entonces toda curva elíptica sobre K puede escribirse en la forma :y² = x³ − px − q donde p y q son elementos de K tales que el polinomio del miembro derecho x³ − px − q no tenga ninguna raíz doble. Si la característica es 2 o 3 harán falta más términos.
    Normalmente se define la curva como el conjunto de todos los puntos (x,y) que satisfacen la ecuación de arriba y tales que x e y sean elementos de la cerradura algebraica de K. Los puntos de la curva cuyas coordenadas pertenezcan ambas a K se llaman puntos K-racionales.
    Si añadimos un punto "al infinito", obtenemos la versión proyectiva de tal curva. Si tenemos dos puntos de la curva, P y Q entonces podemos describir de forma unívoca un tercer punto que sea la intersección de la curva con la línea que atraviesa a los dos puntos P y Q. Si la línea es tangente a la curva en un punto, entonces ese punto contará dos veces; y si la línea es paralela al eje y, definimos el tercer punto como el del infinito. Entonces justo una de tales condiciones será la que cumpla cualquier par de puntos de una curva elíptica.
    subgrupo de este grupo. Si la curva se denota por E, este subgrupo se denota a menudo como E(K).
    El grupo de arriba se puede describir geométrica y algebraicamente. Dada la curva y² = x³ - px - q sobre el cuerpo K (cuya característica asumimos que no es ni 2 ni 3), y los puntos P = (xP, yP) (subíndice P) y Q = (xQ, yQ) en la curva, asumimos primero que xP ≠ xQ. Sea s = (yP - yQ)/(xP - xQ); ya que K es un cuerpo, s está bien definido. Entonces podemos definir R = P + Q = (xR, yR) mediante
    xR = s2 − xP − xQ
    yR = − yP + s(xP − xR)
    Si xP = xQ, entonces hay dos opciones: si yP = -yQ, entonces la suma se define como 0; así que el inverso de cada punto de la curva se encuentra reflejándolo en el eje x. Si yP = yQ ≠ 0, entonces R = P + P = 2P = (xR, yR) vendrá dado por

    xR = s2 − 2xP
    yR = − yP + s(xP − xR)
    Si yP = yQ = 0, entonces P + P = 0.
    El teorema de Mordell-Weil establece que si el cuerpo subyacente K es el de los racionales (o más en general un cuerpo numérico), entonces el grupo de puntos K-racionales será finitamente generado. Mientras que se puede determinar fácilmente el subgrupo de torsión de E(K), no se conoce un algoritmo general para computar su rango. Una fórmula para dicho rango viene dada por la [[conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer]].
    La prueba reciente del último teorema de Fermat se lleva a cabo probando un caso especial de la profunda conjetura de Taniyama-Shimura que relaciona las curvas elípticas sobre los racionales con las formas modulares; dicha conjetura ha sido también completamente demostrada.
    Si el cuerpo subyacente K es el de los complejos, toda curva elíptica podrá ser parametrizada por cierta función elíptica y su derivada. Específicamente, a cada curva elíptica E se le asocia un reticulado L y una función elíptica de Weierstrass correspondiente , tal que la aplicación
    φ : C/L → E
    con

    sea un isomorfismo de grupos y un isomorfismo de superficies de Riemann. Lo que prueba en particular que topológicamente, E semeja un toro (ya que C/L es un toro). Si el reticulado L está relacionado con otro reticulado cL mediante la multiplicación por un número complejo distinto de cero c, entonces las curvas correspondientes son isomorfas. Las clases de isomorfismo de curvas elípticas se especifican mediante el j-invariante.
    Mientras que el número de puntos racionales de una curva elíptica E sobre un cuerpo finito Fp es difícil de computar en general, un teorema de Hasse dice que

    Este hecho puede entenderse y demostrarse con algo de teoría general; ver función zeta local, cohomología étale.
    Para desarrollos ulteriores ver aritmética de variedades abelianas.
    Las curvas elípticas sobre cuerpos finitos se usan en algunas aplicaciones en criptografía así como en la factorización de enteros. La idea general en esas aplicaciones es que si tenemos un algoritmo que usa ciertos grupos finitos podemos reescribirlo usando los grupos de puntos racionales de curvas elípticas

49. Jose Omar Jaimes Duran 017 19353361 22 jun 2007 - 05:32 PM

    Trigonometría - Fundamentos
    es un útil curso del área de Matemáticas que ha sido consultado en 856 ocasiones. En caso de estar funcionando incorrectamente, por favor reporta el problema para proceder a solucionarlo.
    El área de un triángulo.

    Los tres triángulos MNA, MNA´ y MNA´´ tienen la misma área
    Desde siempre sabemos que el área de un triángulo es igual a la mitad del producto de un lado cualquiera por la altura relativa a dicho lado.

    Vamos a justificar, en lo que es posible en una página web, otras expresiones para obtener el área de un triángulo; para lo cual sólo tendremos que tener algunos conocimientos básicos de geometría y trigonometría.
    Dados dos lados y el ángulo comprendido
    Lados: c y b
    Ángulo: A
    Si consideramos el triángulo rectángulo AMC resulta h c = b . sen (A) y sustituyendo en la expresión (1) resulta:

    Teorema del seno
    En todo triángulo se verifica la relación

    Dicha relación puede probarse que es igual al diámetro de la circunferencia circunscrita
    (es decir, igual a 2R).
    Dados un lado y dos ángulos
    Lado: c
    Ángulos: A, B
    Conocidos los ángulos A y B es inmediato calcular C
    C = 180 - (A + B)

    Como ya sabemos
    h c = b . sen (A)
    Además, según el teorema del seno

    Sustituyendo estos valores en (1) tendremos:

    Conocidos los tres lados y el radio de la cincunferencia circunscrita (¡Que ya es conocer!)
    A partir del teorema del seno resulta: y sustituyendo en la expresión (2)

    Las bisectrices del triángulo, (en azul) se cortan en el incentro que es el centro de la circunferencia inscrita.

    Conocidos los tres lados y el radio de la cincunferencia inscrita
    Las bisectrices dividen al triángulo en tres triágulos AIB, BIC, CIA de altura r.
    El área de cada uno de ellos es
    (a.r)/2, (b.r)/2 y (c.r)/2
    por lo que el área del triángulo es

    siendo p la mitad del perímetro del triángulo.

    Conocidos los tres lados. Fórmula de Herón
    En el triángulo AMC

    h 2c = b 2 - AM 2
    Teniendo en cuenta el teorema del cuadrado opuesto a un ángulo agudo resulta:

    por lo que

    Es decir

    Siendo p la mitad del perímetro del triángulo.
    Puede probarse también que si p es el semiperímetro de un triángulo y A, B y C son los ángulos del mismo el área es

    Puedes ver una desmostración de esta expresión en el problema (#057) El área de un triángulo
    Cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo
    a 2 = b 2 + c 2 - 2.c.AM
    El cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre él
    Si a + b + c = 2p, siendo p la mitad del perímetro, resulta:

    b + c - a = 2p - 2c = 2(p - a)
    a + c - b = 2p - 2b = 2(p - b)
    a + b - c = 2p - 2c = 2(p - c)
    La fórmula de Herón también es válida si el triángulo es obtuso.
    Basta entonces aplicar el teorema del cuadrado del lado opuesto a un ángulo obtuso

    a 2 = b 2 + c 2 + 2.c.AM
    El cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados mas el doble producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre él

    Ejemplo.
    Sean A(3,2), B(1,4), C(2,5) los vértices del triángulo ABC.
    El vector AB = (1-3, 4-2) = (-2,2) y el vector AC = (2-3, 5-2) = (-1,3)
    Un vector perpendicular a AB y con el mismo módulo es AB´= (-2,-2) (pues el producto escalar de ambos es 0.
    El producto escalar de AB´ y AC (referidos los vectores a una base ortonormal) es
    AB´. AC = (-2,-2).(-1,3) = 2 - 6 = - 4
    por lo que el área del triángulo resulta:
    A = 1/2 |(-2,-2).(-1,3)| = 1/2 | - 4 | = 2 unidades 2
    Expresión vectorial del área de un triángulo (En lo que sigue indicaremos las magnitudes vectoriales en negrita).
    Consideremos el vector AB´ perpendicular al vector AB y con el mismo módulo [AB] = [AB´]
    Como
    h = [AC] sen (x) =
    = [AC] cos (90 - x) = [AC] cos (y)
    el área del triángulo es:
    A = 1/2 [AB ] h =
    = 1/2 [AB] [AC] cos (y) =
    = 1/2 [AB´] [AC] cos (y) =
    = 1/2 AB´. AC
    siendo AB´. AC el producto escalar de los vectores AB´ y AC
    En general al área de un triágulo es
    A = 1/2 | AB´. AC |
    es decir, el valor absoluto de dicho producto escalar.

50. Robert Prato 22 jun 2007 - 05:44 PM

    La probabilidad es la posibilidad de que algo pueda ocurrir o sea el caso. La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la matemática, la ciencia y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad de sucesos potenciales y la mecánica subyacente de sistemas complejos.
    Teoría
    Artículo principal: Teoría de la probabilidad
    Como otras teorías, la teoría de la probabilidad es una representación de conceptos probabilísticas en términos formales—esto es, en términos que pueden ser considerados separados de su significado. Estos términos formales se manipulan con las reglas de la matemática y la lógica, y cualquier resultado entonces se interpreta o traduce de nuevo al dominio del problema.
    Hay otras reglas para cuantificar la incertidumbre, como la teoría Dempster-Shafer y la teoría de la posibilidad, pero éstas son esencialmente diferentes y no compatibles con las leyes de la probabilidad como se entienden normalmente.
    Aplicaciones
    Dos aplicaciones principales de la teoría de la probabilidad en el día a día son en el análisis de riesgo y en el comercio de los mercados de materias primas. Los gobiernos normalmente aplican métodos probabilísticas en regulación ambiental donde se les llama "análisis de vías de dispersión", y a menudo miden el bienestar usando métodos que son estocásticos por naturaleza, y escogen qué proyectos emprender basándose en análisis estadísticos de su probable efecto en la población como un conjunto. No es correcto decir que la estadística está incluida en el propio modelado, ya que típicamente los análisis de riesgo son para una única vez y por lo tanto requieren más modelos de probabilidad fundamentales, por ej. "la probabilidad de otro 11-S". Una ley de números pequeños tiende a aplicarse a todas aquellas elecciones y percepciones del efecto de estas elecciones, lo que hace de las medidas probabilísticas un tema político.
    Un buen ejemplo es el efecto de la probabilidad percibida de cualquier conflicto generalizado sobre los precios del petróleo en Oriente Medio - que producen un efecto dominó en la economía en conjunto. Un cálculo por un mercado de materias primas en que la guerra es más probable en contra de menos probable probablemente envía los precios hacia arriba o hacia abajo e indica a otros comerciantes esa opinión. Por consiguiente, las probabilidades no se calculan independientemente y tampoco son necesariamente muy racionales. La teoría de las finanzas conductuales surgió para describir el efecto de este pensamiento de grupo en el precio, en la política, y en la paz y en los conflictos.
    Se puede decir razonablemente que el descubrimiento de métodos rigurosos para calcular y combinar los cálculos de probabilidad ha tenido un profundo efecto en la sociedad moderna. Por consiguiente, puede ser de alguna importancia para la mayoría de los ciudadanos entender cómo se cálculan los pronósticos y las probabilidades, y cómo contribuyen a la reputación y a las decisiones, especialmente en una democracia.
    Otra aplicación significativa de la teoría de la probabilidad en el día a día es en la fiabilidad. Muchos bienes de consumo, como los automóviles y la electrónica de consumo, utilizan la teoría de la fiabilidad en el diseño del producto para reducir la probabilidad de avería. La probabilidad de avería también está estrechamente relacionada con la garantía del producto.
    Se puede decir que no existe una cosa llamada probabilidad. También se puede decir que la probabilidad es la medida de nuestro grado de incertidumbre, o esto es, el grado de nuestra ignorancia dada una situación. Por consiguiente, puede haber una probabilidad de 1 entre 52 de que la primera carta en un baraja de cartas es la J de diamantes. Sin embargo, si uno mira la primera carta y la reemplaza, entonces la probabilidad es o bien 100% o 0%, y la elección correcta puede ser hecha con precisión por el que ve la carta. La física moderna proporciona ejemplos importantes de situaciones determinísticas donde sólo la descripción probabilística es factible debido a información incompleta y la complejidad de un sistema así como ejemplos de fenómenos realmente aleatorios.
    En un universo determinista, basado en los conceptos newtonianos, no hay probabilidad si se conocen todas las condiciones. En el caso de una ruleta, si la fuerza de la mano y el periodo de esta fuerza es conocido, entonces el número donde la bola parará será seguro. Naturalmente, esto también supone el conocimiento de la inercia y la fricción de la ruleta, el peso, lisura y redondez de la bola, las variaciones en la velocidad de la mano durante el movimiento y así sucesivamente. Una descripción probabilística puede entonces ser más práctica que la mecánica newtoniana para analizar el modelo de las salidas de lanzamientos repetidos de la ruleta. Los físicos se encuentran con la misma situación en la teoría cinética de los gases, donde el sistema determinístico en principio, es tan complejo (con el número de moléculas típicamente del orden de magnitud de la constante de Avogadro ) que sólo la descripción estadística de sus propiedades es viable.
    La mecánica cuántica, debido al principio de indeterminación de Heisenberg, sólo puede ser descrita actualmente a través de distribuciones de probabilidad, lo que le da una gran importancia a las descripciones probabilísticas. Algunos científicos hablan de la expulsión del paraíso. Otros no se conforman con la pérdida del determinismo. Albert Einstein comentó estupendamente en una carta a Max Born: Jedenfalls bin ich überzeugt, daß der Alte nicht würfelt. (Estoy convencido de que Dios no tira el dado). No obstante hoy en día no existe un medio mejor para describir la física cuántica si no es a través de la teoría de la probabilidad. Mucha gente hoy en día confunde el hecho de que la mecánica cuántica se describe a través de distribuciones de probabilidad con la suposición de que es por ello un proceso aleatorio, cuando la mecánica cuántica es probabilística no por el hecho de que siga procesos aleatorios sino por el hecho de no poder determinar con precisión sus parámetros fundamentales, lo que imposibilita la creación de un sistema de ecuaciones determinista.